Funzione di Heaviside

[Mr.Mazzarr]

Salve ragazzi, volevo porvi una domanda che potrebbe apparire stupida però comunque vorrei una risposta.

Oggi abbiamo fatto le funzioni, più la funzione di Heaviside, le funzioni iniettive, suriettive, biettive e le inverse.

La mia domanda è..

Sappiamo, per definizione, che la funzione è l'immagine di un elemento x appartenente ad X nell'insieme Y, chiamato y tale che f (x) = y
E qui è ok.

Se la funzione è iniettiva allora per ogni x corrisponde uno ed un solo elemento y nell'insieme Y. Ergo se non è iniettiva non è così. Ora, se per definizione ad ogni x corrisponde una y nell'insieme d'arrivo, le funzioni non iniettive dicono che due x diverse possono avere la stessa y nell'insieme d'arrivo ? E' così ? Cioè..

f iniettiva -> x1 diversa da x2 ne consegue che f(x1)=y1 diversa da f(x2)=y2
f non iniettiva -> x1 diversa da x2 ma f(x1)=y non diversa da f(x2)=y

E' così ? A due x diverse corrisponde la stessa y nelle funzioni non iniettive ?

[ciampax]

Sì. Detto meglio:

$f$ iniettiva se e solo se per ogni $x_1\ne x_2$ si ha $f(x_1)\ne f(x_2)$.

In generale, per verificare l'iniettività (o la non iniettività) parti dal prendere due immagini $y_1=f(x_1),\ y_2=f(x_2)$ e vedi cosa accade risolvendo l'equazione $f(x_1)=f(x_2)$. Se risulta $x_1=x_2$ hai iniettività, ma se ottieni più di un valore, allora la funzione non è iniettiva. Esempio banale: $f(x)=x^2$. Se prendo $x_1^2=x_2^2$ ottengo $x_1=\pm x_2$, per cui ho due valori distinti che mi portano alla stessa immagine.