Funzione di Green [Metodi matematici]
Salve a tutti,
volevo chiedere delucidazioni riguardo la soluzione fondamentale di green per equazioni differenziali del tipo $L_ty(t)=a_n(t)D_t^ny(t)+...+a_1(t)D_t^{\prime}y(t)+a_0(t)=f(t)$ con $f(t)in L^2([a,b])$ e $a_i(t)$ continue in $[a,b]$ :
da quanto ho potuto capire si sceglie come soluzione particolare $v(t)=int_(a)^(b) f(t)y_*(t,tau) dx$ con $L_ty_*(t,tau)=delta(t-tau)$, tuttavia non capisco come sia possibile dimostrare l' esattezza della funzione $v(t)$ nè tanto meno la condizione per cui $f(t)in L^2([a,b])$... la dimostrazione del professore consiste nel portare l'operatore all'interno dell'integrale di $v(t)$, in quanto si tratta di una distribuzione dal momento che estendiamo l'intervallo $[a,b]$ a $R$ con l'utilizzo di una porta ($int_(-oo)^(+oo) f(t)P_(T)(t-T/2)L_ty_*(t,tau) dx $ con $T=b-a$) , ma non ho ben inteso perchè sia una distribuzione e perchè sia possibile passare la derivata sotto il segno di integrale così facilmente.
Inoltre $int_(-oo)^(+oo) f(t)delta(t-tau) dx $ ha sempre senso? L'appartenenza a $L^2([a,b])$ c' entra per questa relazione?
Vi ringrazio anticipatamente per questa e per le altre domande...siete davvero gentilissimi
volevo chiedere delucidazioni riguardo la soluzione fondamentale di green per equazioni differenziali del tipo $L_ty(t)=a_n(t)D_t^ny(t)+...+a_1(t)D_t^{\prime}y(t)+a_0(t)=f(t)$ con $f(t)in L^2([a,b])$ e $a_i(t)$ continue in $[a,b]$ :
da quanto ho potuto capire si sceglie come soluzione particolare $v(t)=int_(a)^(b) f(t)y_*(t,tau) dx$ con $L_ty_*(t,tau)=delta(t-tau)$, tuttavia non capisco come sia possibile dimostrare l' esattezza della funzione $v(t)$ nè tanto meno la condizione per cui $f(t)in L^2([a,b])$... la dimostrazione del professore consiste nel portare l'operatore all'interno dell'integrale di $v(t)$, in quanto si tratta di una distribuzione dal momento che estendiamo l'intervallo $[a,b]$ a $R$ con l'utilizzo di una porta ($int_(-oo)^(+oo) f(t)P_(T)(t-T/2)L_ty_*(t,tau) dx $ con $T=b-a$) , ma non ho ben inteso perchè sia una distribuzione e perchè sia possibile passare la derivata sotto il segno di integrale così facilmente.
Inoltre $int_(-oo)^(+oo) f(t)delta(t-tau) dx $ ha sempre senso? L'appartenenza a $L^2([a,b])$ c' entra per questa relazione?
Vi ringrazio anticipatamente per questa e per le altre domande...siete davvero gentilissimi
Risposte
Infatti, a rigore, c'é qualche problemuccio matematico qui: hai ragione. Il tuo professore sta un po' spazzando la polvere sotto il tappeto, ma il risultato a cui arriva è corretto. Come giustamente noti, il punto importante in cui ti serve entrare in ambito distribuzionale è proprio l'integrale
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau,
\]
che è privo di senso cosi' com'è, anche perché la funzione \(f\) potrebbe non essere definita in tutti i punti ma solo quasi ovunque. Tuttavia, siccome tutti gli oggetti coinvolti sono delle distribuzioni, puoi interpretare quell'integrale come un prodotto di convoluzione. Naturalmente alla fine ti troverai con una soluzione nel senso delle distribuzioni, ma anche questo non è un problema perché a conti fatti essa sarà anche soluzione nel senso classico del termine.
Io prenderei queste cose come un "promemoria" per trovare esplicitamente e rapidamente la soluzione di una equazione differenziale, più che come un vero e proprio pezzo di teoria. Del resto, questo è proprio quello che faceva l'ingegnere Heaviside, e ha avuto un certo successo.
\[
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau,
\]
che è privo di senso cosi' com'è, anche perché la funzione \(f\) potrebbe non essere definita in tutti i punti ma solo quasi ovunque. Tuttavia, siccome tutti gli oggetti coinvolti sono delle distribuzioni, puoi interpretare quell'integrale come un prodotto di convoluzione. Naturalmente alla fine ti troverai con una soluzione nel senso delle distribuzioni, ma anche questo non è un problema perché a conti fatti essa sarà anche soluzione nel senso classico del termine.
Io prenderei queste cose come un "promemoria" per trovare esplicitamente e rapidamente la soluzione di una equazione differenziale, più che come un vero e proprio pezzo di teoria. Del resto, questo è proprio quello che faceva l'ingegnere Heaviside, e ha avuto un certo successo.
Ora che vedo ho fatto confusione nello scrivere gli integrali XD... l'importante è che si sia capito ciò che chiedevo.
Comunque grazie mille per la risposta, vedendo il tutto come una convoluzione vista nel senso delle distribuzioni riesco a quadrare meglio la situazione
Comunque grazie mille per la risposta, vedendo il tutto come una convoluzione vista nel senso delle distribuzioni riesco a quadrare meglio la situazione
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