Funzione di Green e condizioni al contorno

[caffè1]

Il libro sta parlando di "nozioni sui problemi al contorno". In particolare, la funzione di Green.
Ad un certo punto dice:

"verifichiamo che
$y(x) = \int_(x0)^(x1)G(x,s) f(s) ds$ è soluzione dell'equazione $d/dx (P(x) y^{\prime}) + Q(x) y = f(x)$ con le condizioni al contorno $y(x0) = y(x1)= 0$.

Infatti si ha:

$y^{\prime}(x) = \int_(x0)^(x1)G_x^{\prime}(x,s) f(s) ds = \int_(x0)^(x)G_x^{\prime}(x,s) f(s) ds + \int_(x)^(x1)G_x^{\prime}(x,s) f(s) ds $;

$ddot y(x) = \int_(x0)^(x) ddotG_(x x) (x,s) f(s) ds + G_x^{\prime}(x,x-0) f(x) + \int_(x)^(x1) ddotG_(x x)(x,s) f(s) ds - G_x^{\prime}(x,x+0) f(x)$
etc."

Non riesco a capire da dove saltano fuori i termini $ + G_x^{\prime}(x,x-0) f(x) $ e $ - G_x^{\prime}(x,x+0) f(x)$.
$x-0$ e $x+0$ sono termini solitamente usati per il limite da sinistra e da destra, ma non capisco come saltino fuori qui.

Un grazie a chi vorrà aiutarmi.

[dissonance]

Curioso! Stiamo parlando proprio di questo problema in ben due topic oltre a questo. Comunque, devi usare questa regola di calcolo:

[tex]$ \frac{d}{dx}\int_a^x \varphi(x, t)\, dt=\varphi(x,x)+\int_a^x \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x, t)\, dt[/tex]

che puoi dimostrare facilmente applicando la regola del gradiente alla funzione

[tex]$(x, y) \mapsto \int_a^x \varphi(y, t)\, dt[/tex];

chiaramente non è necessario che [tex]\varphi[/tex] sia continua rispetto a [tex]t[/tex] in tutto l'intervallo [tex][a, b][/tex], se ha un salto in [tex]x[/tex] la prima formula diventa

[tex]$ \frac{d}{dx}\int_a^x \varphi(x, t)\, dt=\varphi(x,x^{-})+\int_a^x \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x, t)\, dt[/tex]

Riflettici un po', è più difficile da dire che da capire.