Funzione di due variabili - max e min globali
Ciao a tutti!
Sono nel ripasso delle funzioni di due variabili per l'esame di Analisi II.
Ho qualche dubbio/problemino con il seguente esercizio :
Sia data la funzione
$f(x,y):=x^2 +xy+2y^2 +|y|$
a) Stabilire se la funzione ammette minimi e/o massimi globali nel suo dominio.
b) Determinare, se esistono, i punti di minimo e di massimo globali della funzione in $A={(x,y): x<=0; 1>=y>=-x }
c) Calcolare, se esiste, la derivata direzionale minima della funzione in (0, 0).
a)Se considero la restrizione f(x,0) vedo che il limite è +∞ per x--->+∞
poi considero che la funzione senza il modulo ; essa è un trinomio di 2° grado che risulta sempre >0;
infine il modulo è sempre positivo, quindi deduco che la funzione sarà sempre >0 e quindi il mio minimo globale sarà l'origine!
Mentre il max globale non esiste perchè non è limitata superiormente.
Sapete dirmi se è giusto?
b)L'insieme dato è un insieme chiuso e limitato quindi per Weierstrass ammette max e min globali nell'insieme, anche se andando a trovarmi le derivate parziali della funzione il punto P(1/7,-2/7) , che risulta l'unica soluzione di f'X=0 e f'Y=0, non appartiene all'insieme e quindi non ne esistono punti!
Non è un controsenso?
Decido allora di cercarli sulla frontiera e mi calcolo:
$f(0,y)=2y^2+y$
$f(x,1)=x^2+x+3$
$f(x,-x)=2x^2-x$
Per trovare esattamente i punti mi calcolo le derivate prime , in modo da stabilire la crescenza/decrescenza e quindi i punti di max/min.
A me risulta che la crescenza cambia in x=(-1/2) , x=1/4 , y=-(1/4)
Come faccio a trovare i punti di max e minimo?
c)Di solito per calcolarmi la derivata direzionale, dovrei calcolarmi il vettore gradiente, quindi il suo modulo e quindi in base al cos(t ) vedere dove è massima o minimo il valore corrispondente,ma in questo caso specifico ho un valore assoluto nella funzione e non posso derivarla,come posso fare?
Ho provato ad applicare la definizione di derivata direzionale ma una parte di limite non esiste..non mi torna molto.
Come faccio a trovare le derivate direzionali e le loro direzioni in questo caso?
Grazie mille
Danielle
Sono nel ripasso delle funzioni di due variabili per l'esame di Analisi II.
Ho qualche dubbio/problemino con il seguente esercizio :
Sia data la funzione
$f(x,y):=x^2 +xy+2y^2 +|y|$
a) Stabilire se la funzione ammette minimi e/o massimi globali nel suo dominio.
b) Determinare, se esistono, i punti di minimo e di massimo globali della funzione in $A={(x,y): x<=0; 1>=y>=-x }
c) Calcolare, se esiste, la derivata direzionale minima della funzione in (0, 0).
a)Se considero la restrizione f(x,0) vedo che il limite è +∞ per x--->+∞
poi considero che la funzione senza il modulo ; essa è un trinomio di 2° grado che risulta sempre >0;
infine il modulo è sempre positivo, quindi deduco che la funzione sarà sempre >0 e quindi il mio minimo globale sarà l'origine!
Mentre il max globale non esiste perchè non è limitata superiormente.
Sapete dirmi se è giusto?
b)L'insieme dato è un insieme chiuso e limitato quindi per Weierstrass ammette max e min globali nell'insieme, anche se andando a trovarmi le derivate parziali della funzione il punto P(1/7,-2/7) , che risulta l'unica soluzione di f'X=0 e f'Y=0, non appartiene all'insieme e quindi non ne esistono punti!
Non è un controsenso?
Decido allora di cercarli sulla frontiera e mi calcolo:
$f(0,y)=2y^2+y$
$f(x,1)=x^2+x+3$
$f(x,-x)=2x^2-x$
Per trovare esattamente i punti mi calcolo le derivate prime , in modo da stabilire la crescenza/decrescenza e quindi i punti di max/min.
A me risulta che la crescenza cambia in x=(-1/2) , x=1/4 , y=-(1/4)
Come faccio a trovare i punti di max e minimo?
c)Di solito per calcolarmi la derivata direzionale, dovrei calcolarmi il vettore gradiente, quindi il suo modulo e quindi in base al cos(t ) vedere dove è massima o minimo il valore corrispondente,ma in questo caso specifico ho un valore assoluto nella funzione e non posso derivarla,come posso fare?
Ho provato ad applicare la definizione di derivata direzionale ma una parte di limite non esiste..non mi torna molto.
Come faccio a trovare le derivate direzionali e le loro direzioni in questo caso?
Grazie mille
Danielle
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