Funzione di due variabili in dominio stabilito, max e min as
Salve, ho un problema con la definizione di una funzione in un dominio stabilito.
La mia funzione è: z= - sqrt(6 + 2(x)^(2) - 3(y)^(2)) devo provare che è definita in D=\left\{(x,y) : -1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1 \right\} e poi devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti della funzione in D.
Io ho fatto in questo modo:
_ mi sono trovata il dominio della funzione che mi risulta: 6 + 2{x}^{2} - 3{y}^{2} \geqslant 0 e quindi \forall x,y \in \mathbb{R} e visto che il dominio mi comprendeva quello assegnato ho concluso che era definita in D, qual'è il sistema giusto per rispondere a questo quesito?
_ per quanto riguarda i massimi e minimi assoluti ho trovato le derivate prime e ho ottenuto come derivata rispetto alla x: - 2x fratto \sqrt{2{x}^{2} - 3 {y}^{2} } e come derivata rispetto alla y: 3y fratto \sqrt{2{x}^{2} - 3 {y}^{2} }, sempre ammesso che siano giuste per me non si annullano in D e infatti la f(0,0) = -\sqrt{6}. Poi ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange usando come funzione g la frontiera che per me era F(D)=> 6 + 2{x}^{2} - 3{y}^{2} =0 cioè 2{x}^{2} - 3{y}^{2}= -6; dovendo essere x=0 e y=0 ho ottenuto i punti (\sqrt{3},0), (-\sqrt{3}, 0) che saranno punti di minimo assoluto perchè sostituiti nella funzione daranno -\sqrt{12} e i punti (0, \sqrt{2}), (0, -\sqrt{2}) che invece saranno punti di massimo assoluto perche sostituiti nella funzione daranno 0. Questi punti che ho trovato però non fanno parte del dominio D, assegnato dall'esercizio, quindi mi assalgono tantissimi dubbi...
Qualcuno mi saprebbe dire se ho fatto giusto almeno il procedimento?
O altrimenti spiegarmi come si fa?
Grazie mille...
La mia funzione è: z= - sqrt(6 + 2(x)^(2) - 3(y)^(2)) devo provare che è definita in D=\left\{(x,y) : -1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1 \right\} e poi devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti della funzione in D.
Io ho fatto in questo modo:
_ mi sono trovata il dominio della funzione che mi risulta: 6 + 2{x}^{2} - 3{y}^{2} \geqslant 0 e quindi \forall x,y \in \mathbb{R} e visto che il dominio mi comprendeva quello assegnato ho concluso che era definita in D, qual'è il sistema giusto per rispondere a questo quesito?
_ per quanto riguarda i massimi e minimi assoluti ho trovato le derivate prime e ho ottenuto come derivata rispetto alla x: - 2x fratto \sqrt{2{x}^{2} - 3 {y}^{2} } e come derivata rispetto alla y: 3y fratto \sqrt{2{x}^{2} - 3 {y}^{2} }, sempre ammesso che siano giuste per me non si annullano in D e infatti la f(0,0) = -\sqrt{6}. Poi ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange usando come funzione g la frontiera che per me era F(D)=> 6 + 2{x}^{2} - 3{y}^{2} =0 cioè 2{x}^{2} - 3{y}^{2}= -6; dovendo essere x=0 e y=0 ho ottenuto i punti (\sqrt{3},0), (-\sqrt{3}, 0) che saranno punti di minimo assoluto perchè sostituiti nella funzione daranno -\sqrt{12} e i punti (0, \sqrt{2}), (0, -\sqrt{2}) che invece saranno punti di massimo assoluto perche sostituiti nella funzione daranno 0. Questi punti che ho trovato però non fanno parte del dominio D, assegnato dall'esercizio, quindi mi assalgono tantissimi dubbi...
Qualcuno mi saprebbe dire se ho fatto giusto almeno il procedimento?
O altrimenti spiegarmi come si fa?
Grazie mille...
Risposte
forse se usi i codici per scrivere le formule matematiche, qualcuno ti risponderà
Allora vediamo se questa volta le scrivo giuste. Il mio problema è con la definizione di una funzione in un dominio stabilito.
La mia funzione è: $z= - sqrt(6 + 2(x)^(2) - 3(y)^(2))$ devo provare che è definita in D=$\{(x,y) : $ [tex]-1 \leqslant x \leqslant 1, -1 \leqslant y \leqslant 1[/tex] e poi devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti della funzione in D.
Io ho fatto in questo modo:
_ mi sono trovata il dominio della funzione che mi risulta: 6 + 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ [tex]\geqslant 0[/tex] e quindi $AA$ x,y $in$ $RR$ e visto che il dominio mi comprendeva quello assegnato ho concluso che era definita in D, qual'è il sistema giusto per rispondere a questo quesito?
_ per quanto riguarda i massimi e minimi assoluti ho trovato le derivate prime e ho ottenuto come derivata rispetto alla x: $\frac (-2x) \sqrt [2(x)^(2) - 3 (y)^(2)] $ e come derivata rispetto alla y: $\frac (3y) \sqrt [2(x)^(2)- 3 (y)^(2)]$, sempre ammesso che siano giuste per me non si annullano in D e infatti la f(0,0) = -$\sqrt{6}$. Poi ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange usando come funzione g la frontiera che per me era F(D)=> 6 + 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ =0 cioè 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ = -6; dovendo essere x=0 e y=0 ho ottenuto i punti ($\sqrt{3}$,0), (-$\sqrt{3}$, 0) che saranno punti di minimo assoluto perchè sostituiti nella funzione daranno -$\sqrt{12}$ e i punti (0, $\sqrt{2}$), (0, -$\sqrt{2}$) che invece saranno punti di massimo assoluto perche sostituiti nella funzione daranno 0. Questi punti che ho trovato però non fanno parte del dominio D, assegnato dall'esercizio, quindi mi assalgono tantissimi dubbi...
Qualcuno mi saprebbe dire se ho fatto giusto almeno il procedimento?
O altrimenti spiegarmi come si fa?
Grazie mille...
La mia funzione è: $z= - sqrt(6 + 2(x)^(2) - 3(y)^(2))$ devo provare che è definita in D=$\{(x,y) : $ [tex]-1 \leqslant x \leqslant 1, -1 \leqslant y \leqslant 1[/tex] e poi devo trovare gli eventuali punti di massimo e minimo assoluti della funzione in D.
Io ho fatto in questo modo:
_ mi sono trovata il dominio della funzione che mi risulta: 6 + 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ [tex]\geqslant 0[/tex] e quindi $AA$ x,y $in$ $RR$ e visto che il dominio mi comprendeva quello assegnato ho concluso che era definita in D, qual'è il sistema giusto per rispondere a questo quesito?
_ per quanto riguarda i massimi e minimi assoluti ho trovato le derivate prime e ho ottenuto come derivata rispetto alla x: $\frac (-2x) \sqrt [2(x)^(2) - 3 (y)^(2)] $ e come derivata rispetto alla y: $\frac (3y) \sqrt [2(x)^(2)- 3 (y)^(2)]$, sempre ammesso che siano giuste per me non si annullano in D e infatti la f(0,0) = -$\sqrt{6}$. Poi ho usato il metodo dei moltiplicatori di Lagrange usando come funzione g la frontiera che per me era F(D)=> 6 + 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ =0 cioè 2${x}^{2}$ - 3${y}^{2}$ = -6; dovendo essere x=0 e y=0 ho ottenuto i punti ($\sqrt{3}$,0), (-$\sqrt{3}$, 0) che saranno punti di minimo assoluto perchè sostituiti nella funzione daranno -$\sqrt{12}$ e i punti (0, $\sqrt{2}$), (0, -$\sqrt{2}$) che invece saranno punti di massimo assoluto perche sostituiti nella funzione daranno 0. Questi punti che ho trovato però non fanno parte del dominio D, assegnato dall'esercizio, quindi mi assalgono tantissimi dubbi...
Qualcuno mi saprebbe dire se ho fatto giusto almeno il procedimento?
O altrimenti spiegarmi come si fa?
Grazie mille...
soffermiamoci un attimo sul dominio e poi vediamo la derivata prima.
Tu dici $6+2x^2-3y^2>=0$ è sempre verificato, ma ti sbagli perchè se prendiamo ad esempio il punto $(1,4)$ e facciamo $f(1,4) =6+ 2-48<0$ quindi non è vero che è sempre positivo. Hai capito?
Tu dici $6+2x^2-3y^2>=0$ è sempre verificato, ma ti sbagli perchè se prendiamo ad esempio il punto $(1,4)$ e facciamo $f(1,4) =6+ 2-48<0$ quindi non è vero che è sempre positivo. Hai capito?
Per le formule, puoi modificare il primo messaggio usando il tag tex. Usa il pulsante "MODIFICA" in alto a desta. Le formule che hai scritto sono già formattate in TeX, basta indicare al compilatore dove sono. Seleziona il testo da mettere in modo matematico e clicca sul pulsante TeX.
Una raccomandazione: non mischiare il modo matematico e il modo testo. Esempio:
corretto --> $0<=x<=1$, [tex]0 \le x \le 1[/tex];
errato ----> $0$<=$x$<=$1$, [tex]0[/tex]<=[tex]x[/tex]<=[tex]1[/tex].
Grazie.
Una raccomandazione: non mischiare il modo matematico e il modo testo. Esempio:
corretto --> $0<=x<=1$, [tex]0 \le x \le 1[/tex];
errato ----> $0$<=$x$<=$1$, [tex]0[/tex]<=[tex]x[/tex]<=[tex]1[/tex].
Grazie.
Ho capito Lorin, ciò che dici è vero, ma io mi riferivo ai punti compresi nel dominio D che mi è stato assegnato. Se prendo:
f(-1,-1) 6+2-3 >0, se prendo f(1,1) 6+2-3>0, se prendo f(0,0) 6>0, se prendo f(0, [tex]\pm 1[/tex] ) 6-3>0 e se prendo f( [tex]\pm 1[/tex] ,0) 6+2>0. Quindi nel dominio assegnato D posso scrivere 6+ 2[tex]{x}^{2}[/tex] -3 [tex]{y}^{2}[/tex] >0.
Comunque il mio procedimento è giusto?
f(-1,-1) 6+2-3 >0, se prendo f(1,1) 6+2-3>0, se prendo f(0,0) 6>0, se prendo f(0, [tex]\pm 1[/tex] ) 6-3>0 e se prendo f( [tex]\pm 1[/tex] ,0) 6+2>0. Quindi nel dominio assegnato D posso scrivere 6+ 2[tex]{x}^{2}[/tex] -3 [tex]{y}^{2}[/tex] >0.
Comunque il mio procedimento è giusto?
Per favore qualcuno mi sa dire qualcosa di più di Lorin, ho l'esame venerdì. Aiuto....
Ma l'esercizio ti chiede di verificare che il tuo dominio è: ${(x,y): -1 <= x <= 1, -1 <= y <= 1 }$
non ti dice che quello è il tuo dominio, quindi l'osservazione che ti ho fatto è abbastanza pertinente. Capisci?!
non ti dice che quello è il tuo dominio, quindi l'osservazione che ti ho fatto è abbastanza pertinente. Capisci?!
Capisco, ma comunque in quel dominio è definita, giusto?
Poi cosa volevi dirmi della derivata?
Insomma il mio svolgimento dell'esercizio è giusto oppure no?
Poi cosa volevi dirmi della derivata?
Insomma il mio svolgimento dell'esercizio è giusto oppure no?
Andiamo per passi:
1) in quel quadrato D che ti è stato assegnato, la funzione è definita, perchè hai già controllato sostituendo qualche valore, che la funzione è sempre positiva.
Quindi hai verificato che D è una parte del tuo dominio, ma attenzione, a te non è che chiesto di trovare l' intero dominio.
2)con la derivata non ci siamo, sono sbagliate, anche perchè in (0,0) avresti una forma indeterminata, hai dimenticato di mettere al denominatore 6 sotto radice.
Comunque dopo che avrai svolto la derivata correttamente, e quindi la forma indeterminata non ci sarà più, vedrai che i numeratori si annullano in (0,0) come hai detto anche tu precedentemente. Ma hai fatto un errore madornale, il fatto che le derivate si annullino non vuol dire mica che anche la funzione deve annullarsi!
Non ricordi lo studio degli estremi di analisi 1 ? Nei punti in cui la derivata si annulla hai un ESTREMO, non un punto in cui la funzione si annulla.
3)come usi i moltiplicatori di lagrange è assolutamente sbagliato, senza contare che in questo caso non ci possono usare.
1) in quel quadrato D che ti è stato assegnato, la funzione è definita, perchè hai già controllato sostituendo qualche valore, che la funzione è sempre positiva.
Quindi hai verificato che D è una parte del tuo dominio, ma attenzione, a te non è che chiesto di trovare l' intero dominio.
2)con la derivata non ci siamo, sono sbagliate, anche perchè in (0,0) avresti una forma indeterminata, hai dimenticato di mettere al denominatore 6 sotto radice.
Comunque dopo che avrai svolto la derivata correttamente, e quindi la forma indeterminata non ci sarà più, vedrai che i numeratori si annullano in (0,0) come hai detto anche tu precedentemente. Ma hai fatto un errore madornale, il fatto che le derivate si annullino non vuol dire mica che anche la funzione deve annullarsi!
Non ricordi lo studio degli estremi di analisi 1 ? Nei punti in cui la derivata si annulla hai un ESTREMO, non un punto in cui la funzione si annulla.
3)come usi i moltiplicatori di lagrange è assolutamente sbagliato, senza contare che in questo caso non ci possono usare.
Grazie, stefano_89, hai ragione la derivata non è come l'ho scritta io.
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non mi è molto chiaro, vedro di studiarlo meglio.
Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non mi è molto chiaro, vedro di studiarlo meglio.
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