Funzione di due variabili
Ciao raga, non capisco se sbaglio:
Determinare ed analizzare i punti critici della seguente funzione:
$f(x,y)=(2x-y)/(x^2+y^2)$
come dominio ho messo $x!=0 e y!=0$
poi
$D'_x=(-2x^2+2y^2+2yx)/(x^2+y^2)^2$
$D'_y=(-x^2+y^2-4yx)/(x^2+y^2)^2$
ora dovrei vedere quando sono uguali a 0, ma come faccio?faccio il sistema giusto?
Determinare ed analizzare i punti critici della seguente funzione:
$f(x,y)=(2x-y)/(x^2+y^2)$
come dominio ho messo $x!=0 e y!=0$
poi
$D'_x=(-2x^2+2y^2+2yx)/(x^2+y^2)^2$
$D'_y=(-x^2+y^2-4yx)/(x^2+y^2)^2$
ora dovrei vedere quando sono uguali a 0, ma come faccio?faccio il sistema giusto?
Risposte
ottieni il sistema:
$-2x^2+2y^2+2xy=0$
$-x^2+y^2-4xy=0$
dopo brevi passaggi si ottiene la soluzione $x=0,y=0$ che giustamente hai escluso dal dominio di definizione, quindi a te trarre le conclusioni per la natura dei punti critici.
ciao e a presto
$-2x^2+2y^2+2xy=0$
$-x^2+y^2-4xy=0$
dopo brevi passaggi si ottiene la soluzione $x=0,y=0$ che giustamente hai escluso dal dominio di definizione, quindi a te trarre le conclusioni per la natura dei punti critici.
ciao e a presto
grazie...
invece in quest altra funzione
$f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2$
$F'_x=6x^2-6y$
$F'_y=-6x+6y$
$F'_(xy)=-6$
sistema ottengo i punti $P(0,0)$ e $D(1,1)$
hessiano ottengo $H(x,y)=72x$
sostituisco $D$ e ottengo 72 che sostituisco nella $F''xx=12x$ quindi se sostituisco e $F'_(xx)>0$ e ho un minimo.
Invece con $P$ la soluz mi dice che ottengo un punto di sella, non sarebbe un caso dubbio?
invece in quest altra funzione
$f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2$
$F'_x=6x^2-6y$
$F'_y=-6x+6y$
$F'_(xy)=-6$
sistema ottengo i punti $P(0,0)$ e $D(1,1)$
hessiano ottengo $H(x,y)=72x$
sostituisco $D$ e ottengo 72 che sostituisco nella $F''xx=12x$ quindi se sostituisco e $F'_(xx)>0$ e ho un minimo.
Invece con $P$ la soluz mi dice che ottengo un punto di sella, non sarebbe un caso dubbio?
in che senso caso dubbio?
cioe l hessiano e =0 e sul mio libro non c e scritto come proeguire quando e =0 l hessiano
no ma l'hessiano come fa a venirti zero?
la matrice hessiana è
$H(x,y)=[(12x,-6),(-6,6)]$
e calcolato in zero risulta:
$H(0,0)=[(0,-6),(-6,6)]$
e perchè è caso dubbio?
la matrice hessiana è
$H(x,y)=[(12x,-6),(-6,6)]$
e calcolato in zero risulta:
$H(0,0)=[(0,-6),(-6,6)]$
e perchè è caso dubbio?
ma la derivata seconda rispetto a xy non e 0??
ho ancora una mancanza su questa:
$f(x,y)=x^2-y^2+2e^(-x^2)$
$F'_x=2x-4xe^(-x^2)$
$F'_y=-2y$
$F''_(xx)=2-4e^(-x^2)(1-8x^2)$
$F''_(yy)=-2$
dal sistema trovo i punti critici
$P(0,0)$
$C(-sqrt(-log(1/2)),0)$
$E(sqrt(-log(1/2)),0)$
ho ancora una mancanza su questa:
$f(x,y)=x^2-y^2+2e^(-x^2)$
$F'_x=2x-4xe^(-x^2)$
$F'_y=-2y$
$F''_(xx)=2-4e^(-x^2)(1-8x^2)$
$F''_(yy)=-2$
dal sistema trovo i punti critici
$P(0,0)$
$C(-sqrt(-log(1/2)),0)$
$E(sqrt(-log(1/2)),0)$
scusa ma non capisco il senso dell derivata seconda.
ti trovi l'hessiano e vedi se è definito positivo oppure no
ti trovi l'hessiano e vedi se è definito positivo oppure no
e ma per far l hessiano non devo calcolare la derivata seconda rispetto a xy?forse non ho ben capito come si deriva rispettoa xy mi date un po di esempi??
ma non è una derivata seconda!! è una derivata parziale.
se hai $f(x,y)$ allora $f_xy$ vuol dire fare prima la derivata rispetto a $x$ e poi $rispetto a $y$.
esempio:
$f(x,y)=x^2-y^2$
$f_x=2x$
$f_xy=0$
osserva che in questo caso l'ordnide di derivazione è indifferente essendo la $f$ una funzione moooolto regolare.
capito?
se hai $f(x,y)$ allora $f_xy$ vuol dire fare prima la derivata rispetto a $x$ e poi $rispetto a $y$.
esempio:
$f(x,y)=x^2-y^2$
$f_x=2x$
$f_xy=0$
osserva che in questo caso l'ordnide di derivazione è indifferente essendo la $f$ una funzione moooolto regolare.
capito?
e il teorema di Scwarz giusto?quello secondo cui l ordine di derivazione non cambia...
Ma nn ricordo bene come si calcolano $F'(xy)$
e l altra funz che ho postato sai dirmi qualcosa?
Ma nn ricordo bene come si calcolano $F'(xy)$
e l altra funz che ho postato sai dirmi qualcosa?
si è quel teorema.
ma cosa vuol dire $F^{\prime}(xy)$. non è una derivata prima ma è una derivata parziale.
ti ripeto
ma cosa vuol dire $F^{\prime}(xy)$. non è una derivata prima ma è una derivata parziale.
ti ripeto
si scusa hai ragione mi son sbagliato a scrivere...come si calcolano pero?
te l'ho detto prima derivi rispetto a $x$ e poi rispetto a $y$
scusami cmq e che mi sono appena rimesso dopo una settimana di studio di altre cose...
$f_x=e^(y/x)*(-y/x^2)$
$f_xy=-e^(y/x)*(1/x^2)+e^(y/x)*(1/x)*(-y/x^2)$
$f_xy=-e^(y/x)*(1/x^2)+e^(y/x)*(1/x)*(-y/x^2)$
ok posso chiederti ancora la funz che ho postato sopra?
$f(x,y)=x^2-y^2+2e^(-x^2)$ sempre punti critici....sopra ho scritto gia le derivate
$f(x,y)=x^2-y^2+2e^(-x^2)$ sempre punti critici....sopra ho scritto gia le derivate
$P$ è massimo perchè l'hessiano è definito negativo. mentre $C,E$ sono di sella poichè l'hessiano è non definito.
ok grazie....
posso chiederti di darmi qualche es simile??
posso chiederti di darmi qualche es simile??
non saprei, prova a inventarli da solo, non è difficile... ad esempio puoi considrare le quadriche in $RR^3$ e già hai un bel pò di esempi.
ancora una cosa...quand e che ho un punto di minimo relativo e non assoluto?
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