Funzione di due variabili
Ciao,vi posto un esercizio su cui ho qualche dubbio.Data la seguente funzione $ f(x,y)=log_(2-x)(1-y^2/4-x^2/16) $ determinare:
-l'insieme di definizione precisandone la natura:
$ { ( 1-y^2/4-x^2/16>0 ),( 2-x>0 ),( 2-x!= 1 ):} { ( x^2+4y^2<16 ),( x<2 ),( x!= 1 ):} $
quindi $ Dom(f)=x^2+4y^2<16vv x<2vv x!= 1 $ ,qui sorge il primo dubbio,cosa si intende per precisandone la natura?Mi verrebbe da dire che il dominio di definizione della funzione è un'ellisse,e se non sbaglio dovrebbe essere normale rispetto ad entrambi gli assi coordinati...
-la derivata secondo la direzione dell'asse y in P(0,1):
$ lambda (0,1) $= vettore direzione secondo l'asse y
$ log_(2-x)(1-y^2/4-x^2/16)=log(1-y^2/4-x^2/16)/log(2-x) $
$ f'_(x)=(log(1-y^2/4-x^2/16)/(2-x)-xlog(2-x)/(8-2y^2-x^2/2))/log^2(2-x) $ ma questa ai fini del calcolo della derivata direzionale secondo l'asse y forse è stato superfluo calcolarla
$ f'_(y)=1/log(2-x)*log(1-y^2/4-x^2/16)=y^2/log(2-x)(2-y^2/2-x^2/8) $
Quindi $ (partial f)/(partial lambda )=f'_(x)*0+f'_(y)(0,1)*1=1/(log(2-0)*(2-1/2-0))=1/(3/2log(2)) $ è corretto?
-dopo aver calcolato il segno della funzione in $ P'(3/2,0) e P''(-1,0) $ dire se è applicabile il teorema di esistenza degli zeri:
qui non riesco ad andare avanti.So che il segno di una funzione di due variabili si studia ponendo la funzione >0,ma come si fa a studiarla in un punto? Spero in qualche aiuto
-l'insieme di definizione precisandone la natura:
$ { ( 1-y^2/4-x^2/16>0 ),( 2-x>0 ),( 2-x!= 1 ):} { ( x^2+4y^2<16 ),( x<2 ),( x!= 1 ):} $
quindi $ Dom(f)=x^2+4y^2<16vv x<2vv x!= 1 $ ,qui sorge il primo dubbio,cosa si intende per precisandone la natura?Mi verrebbe da dire che il dominio di definizione della funzione è un'ellisse,e se non sbaglio dovrebbe essere normale rispetto ad entrambi gli assi coordinati...
-la derivata secondo la direzione dell'asse y in P(0,1):
$ lambda (0,1) $= vettore direzione secondo l'asse y
$ log_(2-x)(1-y^2/4-x^2/16)=log(1-y^2/4-x^2/16)/log(2-x) $
$ f'_(x)=(log(1-y^2/4-x^2/16)/(2-x)-xlog(2-x)/(8-2y^2-x^2/2))/log^2(2-x) $ ma questa ai fini del calcolo della derivata direzionale secondo l'asse y forse è stato superfluo calcolarla
$ f'_(y)=1/log(2-x)*log(1-y^2/4-x^2/16)=y^2/log(2-x)(2-y^2/2-x^2/8) $
Quindi $ (partial f)/(partial lambda )=f'_(x)*0+f'_(y)(0,1)*1=1/(log(2-0)*(2-1/2-0))=1/(3/2log(2)) $ è corretto?
-dopo aver calcolato il segno della funzione in $ P'(3/2,0) e P''(-1,0) $ dire se è applicabile il teorema di esistenza degli zeri:
qui non riesco ad andare avanti.So che il segno di una funzione di due variabili si studia ponendo la funzione >0,ma come si fa a studiarla in un punto? Spero in qualche aiuto
Risposte
Il primo punto va bene,
nel secondo ti sta semplicemente chiedendo la derivata parziale rispetto a $y$.
Nel terzo punto devi semplicemente valutare la funzione in $P'$ e $P$ e vedere se assume segno discorde.
nel secondo ti sta semplicemente chiedendo la derivata parziale rispetto a $y$.
Nel terzo punto devi semplicemente valutare la funzione in $P'$ e $P$ e vedere se assume segno discorde.
Grazie feddy,quindi anche il secondo punto è correto?(a parte il calcolo della derivata parziale in x che si poteva evitare)Per il terzo punto quindi:
$ f(P')> 0 rArr log(55/64)/log(1/4)>0 $ in P' la f è positiva
$ f(P2)> 0 rArr log(15/16)/log(3)<0 $ in P'' la f è negativa
é corretto?Essendo di segno discorde cosa ne desumo?
$ f(P')> 0 rArr log(55/64)/log(1/4)>0 $ in P' la f è positiva
$ f(P2)> 0 rArr log(15/16)/log(3)<0 $ in P'' la f è negativa
é corretto?Essendo di segno discorde cosa ne desumo?
Prova a pensare al teorema di esistenza degli zeri (il nome la dice lunga...)
La funzione è continua? Se sì, cosa significa che in un punto è negativa e in un altro è negativa? (pensa al caso unidimensionale)
La funzione è continua? Se sì, cosa significa che in un punto è negativa e in un altro è negativa? (pensa al caso unidimensionale)
Certo,che sciocco...quindi per concludere,poiche f(P')>0 e f(P'')<0 il teorema degli zeri è applicabile.Grazie mille feddy:)
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