Funzione di Dirichlet
Perchè posso dire che la funzione di Dirichlet è non integrabile(secondo Riemann)?
Risposte
Basta calcolare esplicitamente le somme integrali superiori ed inferiori e vedere che gli insiemi da esse descritti non sono contigui (come richiede la definizione di funzione integrabile nel senso di Riemann).
Di solito trovi la dimostrazione di questo fatto su ogni buon testo di Analisi I (ma probabilmente la trovi anche qui, cercando nella maniera giusta in qualche vecchio thread della sezione Università).
Di solito trovi la dimostrazione di questo fatto su ogni buon testo di Analisi I (ma probabilmente la trovi anche qui, cercando nella maniera giusta in qualche vecchio thread della sezione Università).
non lo trovo da nessuna parte 
Falla da te, è facilissima.
cosa intendi per somme integrali superiori?
Visto che parli di integrali mi è parso lecito supporre che almeno le definizioni di base le avessi studiate... Ma forse il libro che usi non procede in maniera canonica.
Ad ogni modo vedi qui (in inglese); visto che l'impostazione è quella di Darboux (che è equivalente a quella di Riemann, con i punti scelti a "caso") e che i wikipediani anglofoni sono persone serie, le somme integrali cui mi riferivo sono chiamate più correttamente somme di Darboux inferiore e superiore.
Però c'è anche questo riferimento che è in italiano.
Ad ogni modo vedi qui (in inglese); visto che l'impostazione è quella di Darboux (che è equivalente a quella di Riemann, con i punti scelti a "caso") e che i wikipediani anglofoni sono persone serie, le somme integrali cui mi riferivo sono chiamate più correttamente somme di Darboux inferiore e superiore.
Però c'è anche questo riferimento che è in italiano.
no volevo sapere se è quello che il mio professore ha determinato come integrale inferiore e cioè estremo superiore di un insieme $A =\{ \int r(x)dx " tale che " r(x) <= f(x) \}$.
Se le $r(x)$ sono funzioni semplici (o a scalini, ossia che assumono un numero finito di valori) definite su una partizione di $[a,b]$, allora sì l'integrale inferiore di $f$ è l'estremo superiore di quella classe.
L'integrale $\int_a^b r(x)" d"x$ è una somma finita del tipo $\sum_(i=1)^N m_i*(x_i-x_(i-1))$ con $a=x_0somma integrale inferiore relativa alla partizione $\{x_0,\ldots ,x_N\}$.
Analogamente definisci somma integrale superiore relativa alla partizione $\{ x_0,\ldots x_N\}$ la somma $\sum_(i=1)^N M_i*(x_i-x_(i-1))$ quando $M_i:="sup"_([x_(i-1),x_i]) f$, che altro non è che l'integrale di una particolare funzione semplice $R(x)$ che maggiora $f$ su $[a,b]$.
L'integrale $\int_a^b r(x)" d"x$ è una somma finita del tipo $\sum_(i=1)^N m_i*(x_i-x_(i-1))$ con $a=x_0
Analogamente definisci somma integrale superiore relativa alla partizione $\{ x_0,\ldots x_N\}$ la somma $\sum_(i=1)^N M_i*(x_i-x_(i-1))$ quando $M_i:="sup"_([x_(i-1),x_i]) f$, che altro non è che l'integrale di una particolare funzione semplice $R(x)$ che maggiora $f$ su $[a,b]$.
si $r(x)$ sono le funzioni a scala..soloc he a questo punto non capisco come (nell'esercizio che ho posto io) devo considerare questi intervallini ...
Prendi una qualsiasi partizione e calcola esplicitamente le somme integrali inferiore e superiore secondo le definizioni. Quanto vengono?
Gli insiemi descritti dalle somme superiori ed inferiori sono contigui o no?
Tieni presente che $[a,b]=[0,1]$, che:
$f(x):=\{(1, ", se " x \in QQ \cap [0,1]),(0, ", se " x \in [0,1]\setminus QQ):}$
e che, presa una decomposizione $D:=\{0=x_0,x_1,\ldots ,x_(N-1),x_N=1\}$, hai:
$s(f; D) :=\sum_(i=1)^N "inf"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale inferiore,
$S(f; D) :=\sum_(i=1)^N "sup"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale superiore.
Gli insiemi descritti dalle somme superiori ed inferiori sono contigui o no?
Tieni presente che $[a,b]=[0,1]$, che:
$f(x):=\{(1, ", se " x \in QQ \cap [0,1]),(0, ", se " x \in [0,1]\setminus QQ):}$
e che, presa una decomposizione $D:=\{0=x_0,x_1,\ldots ,x_(N-1),x_N=1\}$, hai:
$s(f; D) :=\sum_(i=1)^N "inf"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale inferiore,
$S(f; D) :=\sum_(i=1)^N "sup"_([x_(i-1),x_i]) f*(x_i-x_(i-1)) \quad$ somma integrale superiore.
dimmi se sbaglio ma $Mi$ dovrebbe venire 0 per ogni partizione (nel caso di integrale superiore) o sbaglio'
Come fa a venire $0$ se $"sup" f=1$ in ogni intervallino? 
infatti ho sbagliato volevo dire integrale inferiore scusa...
Sì, l'integrale inferiore è $0$ (così come tutte le somme inferiori).
E quello superiore?
E quello superiore?
allora in quello superiore dovrei avere $Mi =1$ giusto?
E sì.
Quindi?
Quindi?
quindi essendo diversi posso dire che non sono contigui..
Cosa non sono contigui?
Sù, un po' di buona volontà... Formalizziamo bene!
Sù, un po' di buona volontà... Formalizziamo bene!
integrale suoperiore è differente da quello inferiore quindi non esiste integrale
Ok! 
scusa se ti ho esaurito..grazie per la pazienza..
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