Funzione di corrente
Chi mi sa spiegare bene la funzione di corrente..
praticamente, esce questa equazione differenziale:
ve la scrivo forse è + semplice
il laplaciano del laplaciano di f = 0
ed il laplaciano di f = w (vorticità)
poi sai che fx = -v la derivata di f rispetto ad x
e che fy = u la derivata di f rispetto a y
u e v sono le componenti del vettore velocità ci troviamo quindi in un campo bidimensionale.....
il mio dubbio cmq sta nel trovare la funzione f..........
le funzioni la placiano del laplaciano ect e pure quella di sotto sono scritte in coordinate cilindriche......
voglio trovare le soluzioni per una corrente che investe un cilindro(cerchio tanto stiamo nel campo bidimensionale), di raggio R, le condizioni a contorno sono v tangente a cilindro nulla, e ovviamente nn c'è compenetrazione di materia quiandi per r=R, v *n = v* t = 0, il sistema di riferimento è preso al centro del cilindro e le coordinate libere sono ovviamente r e teta(l'angolo),
se qualcuno nn sa come si scriva il lapliaciano in coordinate cilindriche lo scrivo qui sotto,
laplaciano di f = $1/r(d/dr(r d f/(dr)))+1/(r^2) (d^2f/(d(teTa)^2))$
le d sono derivate parziali e teta sarebbe l'angolo
praticamente, esce questa equazione differenziale:
ve la scrivo forse è + semplice
il laplaciano del laplaciano di f = 0
ed il laplaciano di f = w (vorticità)
poi sai che fx = -v la derivata di f rispetto ad x
e che fy = u la derivata di f rispetto a y
u e v sono le componenti del vettore velocità ci troviamo quindi in un campo bidimensionale.....
il mio dubbio cmq sta nel trovare la funzione f..........
le funzioni la placiano del laplaciano ect e pure quella di sotto sono scritte in coordinate cilindriche......
voglio trovare le soluzioni per una corrente che investe un cilindro(cerchio tanto stiamo nel campo bidimensionale), di raggio R, le condizioni a contorno sono v tangente a cilindro nulla, e ovviamente nn c'è compenetrazione di materia quiandi per r=R, v *n = v* t = 0, il sistema di riferimento è preso al centro del cilindro e le coordinate libere sono ovviamente r e teta(l'angolo),
se qualcuno nn sa come si scriva il lapliaciano in coordinate cilindriche lo scrivo qui sotto,
laplaciano di f = $1/r(d/dr(r d f/(dr)))+1/(r^2) (d^2f/(d(teTa)^2))$
le d sono derivate parziali e teta sarebbe l'angolo
Risposte
qui gli appunti parlano di soluzioni separabili , funzioni che sono prodotto di una funzione di solo r ed una di solo teta,
però non mi è chiario , il buio mi avvolge
però non mi è chiario , il buio mi avvolge
vi prego ci sto sbattendo la testa ma nn riesco a capire proprio , quando posso usare le soluzioni separabili qui prende alla fine una funzione
f = F(r) sen (teta)
poi mette questa simpatica funzione nel lapliaciano di f e lo pone uguale a w , questo mi è chiaro , ma l'espressione diventa,
$(d/(dr)(r dF/(dr))-1/(r^2)F)sen(teTa)$= w
ORA LE derivate sono TOTALI e non parziali come prima!!! , il buoi mi avvolge sempre di +
f = F(r) sen (teta)
poi mette questa simpatica funzione nel lapliaciano di f e lo pone uguale a w , questo mi è chiaro , ma l'espressione diventa,
$(d/(dr)(r dF/(dr))-1/(r^2)F)sen(teTa)$= w
ORA LE derivate sono TOTALI e non parziali come prima!!! , il buoi mi avvolge sempre di +
La f.ne di corrente è definita solo per moti piani, infatti:
se costruisci la forma differenziale:
d(psi)=udy-vdx questo esatto solo nell'incomprimibile e per moti piani----> da lì vengono fuori le relazioni del campo cinetico con la f.ne di corrente.
Il problema del cilindro 2D nei regimi irrotazionali si può risolvere in maniera banalissima sovrapponendo due campi di moto (questo discorso lo si può fare solo nell'irrotazionale altrimenti la fluidodinamica è sempre non lineare) cioè:
- corrente uniforme
- doppietto (che sarebbe l'analogo del dipolo di fisica II)
Cmq non mi è chiaro se vuoi risolvere l'equazioni di Laplace per il potenziale o se vuoi calcolare la funzione di corrente sfruttando la sua biarmonicità.
Come la vuoi fare tu la cosa, in ogni caso, non è molto banale.....sulle dispense di quadrio c'è qlcs in merito.
http://pc-quadrio.aero.polimi.it/it/Did ... nuove.html
(capitolo 5)
Un errore è porre nei moti irrotazionali la velocità alla parete nulla, anche quest'argomento non è di banale spiegazione però, in soldoni, essendo l'equazione di Eulero di prim'ordine e quella di NS del II ordine praticamente perdi la possibilità di applicare l'applicazione della velocità relativa nulla alla parete nell'inviscido.
Il discorso è approfondito del capitolo 12 di Quadrio ed è un procedimento abbastanza laborioso basato sul metodo delle espansioni asintotiche applicato alle eq. di Prandtl.
Altra condizione al contorno di questo regime di moto è la condizione asintotica cioè deve porre che la velocità del flusso per r--> infinito sia quella della corrente imperturbata.
se costruisci la forma differenziale:
d(psi)=udy-vdx questo esatto solo nell'incomprimibile e per moti piani----> da lì vengono fuori le relazioni del campo cinetico con la f.ne di corrente.
Il problema del cilindro 2D nei regimi irrotazionali si può risolvere in maniera banalissima sovrapponendo due campi di moto (questo discorso lo si può fare solo nell'irrotazionale altrimenti la fluidodinamica è sempre non lineare) cioè:
- corrente uniforme
- doppietto (che sarebbe l'analogo del dipolo di fisica II)
Cmq non mi è chiaro se vuoi risolvere l'equazioni di Laplace per il potenziale o se vuoi calcolare la funzione di corrente sfruttando la sua biarmonicità.
Come la vuoi fare tu la cosa, in ogni caso, non è molto banale.....sulle dispense di quadrio c'è qlcs in merito.
http://pc-quadrio.aero.polimi.it/it/Did ... nuove.html
(capitolo 5)
Un errore è porre nei moti irrotazionali la velocità alla parete nulla, anche quest'argomento non è di banale spiegazione però, in soldoni, essendo l'equazione di Eulero di prim'ordine e quella di NS del II ordine praticamente perdi la possibilità di applicare l'applicazione della velocità relativa nulla alla parete nell'inviscido.
Il discorso è approfondito del capitolo 12 di Quadrio ed è un procedimento abbastanza laborioso basato sul metodo delle espansioni asintotiche applicato alle eq. di Prandtl.
Altra condizione al contorno di questo regime di moto è la condizione asintotica cioè deve porre che la velocità del flusso per r--> infinito sia quella della corrente imperturbata.
Variabili separabili:
quando c'hai una EDP ellittica o parabolica "semplice" quale può essere l'eq. di Laplace ti ricerchi la soluzione come prodotto di funzioni di una sola variabile ciascuna funzione di una delle variabili da cui dipende il campo scalare (ad esempio) che appare nell'eq. di Laplace.
Questo di permette di passare da EDP ad EDO---> e non è una sciocchezza.
Il problema è che non si può fare sempre e magari nell'imporre le condizioni al contorno puoi generare problemi matematici molto complessi o addirittura non solubili -------> Metodi Numerici.
quando c'hai una EDP ellittica o parabolica "semplice" quale può essere l'eq. di Laplace ti ricerchi la soluzione come prodotto di funzioni di una sola variabile ciascuna funzione di una delle variabili da cui dipende il campo scalare (ad esempio) che appare nell'eq. di Laplace.
Questo di permette di passare da EDP ad EDO---> e non è una sciocchezza.
Il problema è che non si può fare sempre e magari nell'imporre le condizioni al contorno puoi generare problemi matematici molto complessi o addirittura non solubili -------> Metodi Numerici.
io non ho capito molto bene con la funzione di corrente...... quelle a potenziali considerando la irrotazionalità del campo mi è + chiara...
grazie
grazie
ma lo sai che il prof delle dispense è anche il mio prof . Paolo Luchini
il discorso è f.ne di corrente in generale non è biarmonica (deve soddisfare un'equazione del 4°ordine abbastanza complessa).
Nei moti irrotazionali incomprimibili piani è armonica ----> bisogna risolvere un classico problema elettico!
Impenetrabilità al corpo solido + Condizioni Asintotiche!!!!
essì Quadrio/Luchini è un bel corso di Aerodinamica
Nei moti irrotazionali incomprimibili piani è armonica ----> bisogna risolvere un classico problema elettico!
Impenetrabilità al corpo solido + Condizioni Asintotiche!!!!
essì Quadrio/Luchini è un bel corso di Aerodinamica
non ho capito bene il concetto della doppietta , e pozzo + sorgente, come funziona ?
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