Funzione di classe $C^infty(RR)$ che non è reale analitica

[Angus1956]

Allora devo dimostrare che la funzione $f(x)={(0,if x<=0),(e^(-1/x),if x>0):}$ è $C^infty(RR)$ ma non è $C^\omega(RR)$. Se riuscissi a dimostrare che $f^((n))(0)=0$ per ogni $n>=0$, allora potrei dire che se per assurdo $f$ fosse reale analitica su $RR$ allora in un intorno aperto di $0$ si avrebbe che $f(x)=\sum_{n=0}^{+infty}f^(n)(0)/(n!)x^n$ ma allora $f$ sarebbe identicamente nulla in questo intorno aperto di $0$ e ciò è assurdo poichè se $x>0$ allora $f(x)=e^(-1/x)!=0$. Però non so come mostrare per bene che $finC^infty(RR)$ e che $f^((n))(0)=0$ per ogni $n>=0$, qualcuno mi sa dire? (forse induttivamente non so...)

[otta96]

Eh si induttivamente.

[Angus1956]

"otta96":Eh si induttivamente.

Oddio forse siccome $f(x)=0$ $AAx<=0$ allora potrei dire tranquillamente che $f^((n))(x)=0$ $AAx<=0$ per cui $f^((n))(0)=0$, mentre per mostrare che $finC^infty(RR)$ avevo provato cosi: abbiamo che $f^((n))(0)=lim_(x->0^+)f^((n-1))(x)/x$ siccome si ha una forma indeterminata $0/0$ (e $f^((n-1))(x)$ per $x in(0,+infty)$ è derivabile poichè derivata $(n-1)$-esima di $e^(-1/x)$ che è di classe $C^infty$) posso applicare De Hospital e si ha che $f^((n))(0)=lim_(x->0^+)f^((n))(x)$ ma questo prova la continuità di $f^((n))$ in $0$ e quindi $f^((n))inC(RR)$ $AAn>=0$ e quindi $finC^infty(RR)$.

[otta96]

No, dimostra che la derivata $n$-esima della funzione è un polinomio che moltiplica $f$. Da cui dedurre il resto.

[Angus1956]

"otta96":No, dimostra che la derivata $n$-esima della funzione è un polinomio che moltiplica $f$. Da cui dedurre il resto.

Perchè come ho detto io non va bene?

[megas_archon]

Penso che sia sufficiente avere come lemma che \(e^{-1/x}x^p\) tende a zero per ogni esponente $p$ intero, quando \(x\to 0\). Perché è immediato mostrare che \(f^{(n)}(x)\) è della forma \(e^{-1/x}r(x)\) dove $r$ è una funzione razionale, che quindi quando \(x\to 0\) è asintotica a \(x^p\) per qualche $p$.

[Angus1956]

"otta96":No, dimostra che la derivata $n$-esima della funzione è un polinomio che moltiplica $f$. Da cui dedurre il resto.

Abbiamo che $f'(x)={(0,if x<=0),(e^(-1/x)/x^2,if x>0):}$ da cui si ha $f'(x)=f(x)*1/x^2$, ora per ipotesi induttiva supponiamo che $f^((n-1))(x)=f(x)p(x)$ dove $p(x)$ è una funzione razionale. Quindi abbiamo che $f^((n))(x)=f'(x)p(x)+f(x)p'(x)=f(x)((p(x))/x^2+p'(x))$ ma $(p(x))/x^2+p'(x)$ è ancora una funzione razionale.

Va bene?

[otta96]

Si esatto ora dovresti essere in grado di concludere.

[Angus1956]

"otta96":Si esatto ora dovresti essere in grado di concludere.

Vabbe si, perchè $f^((n))$ è continua per ogni $ninNN$ poichè somma e moltiplicazioni di funzioni continue e poi se la calcolo in $0$ siccome $f(0)=0$ si ha $f^((n))(0)=0$. (le funzioni razionali sono sempre continue sul loro dominio poichè quoziente di polinomi che a loro volta sono funzioni continue)

[otta96]

Eh ma devi capire se il dominio è sempre $RR$, perchè se dei punti fossero esclusi la funzione non sarebbe $C^\infty$.