Funzione di classe $C^2(RR)$
Devo avere una funzione $f$ di classe $C^2(RR)$ ma non $C^3(RR)$.
Se prendo:
$f(x)=x^(alpha)$, con $2 < alpha < 3$ (ad es.: $alpha = 5/2$)
oppure
$f(x)=x^5 sin(1/x)$ per $x!=0$
$f(x)=0$ per $x=0$
Vanno bene?
Se no perchè?
Grazie mille a chi mi risponderà.
(Per favore avrei bisogno veramente di questa risposta
)
Ciao.
Se prendo:
$f(x)=x^(alpha)$, con $2 < alpha < 3$ (ad es.: $alpha = 5/2$)
oppure
$f(x)=x^5 sin(1/x)$ per $x!=0$
$f(x)=0$ per $x=0$
Vanno bene?
Se no perchè?
Grazie mille a chi mi risponderà.
(Per favore avrei bisogno veramente di questa risposta
)Ciao.
Risposte
"amel":
Devo avere una funzione $f$ di classe $C^2(RR)$ ma non $C^3(RR)$.
$|x|$ è continua ma non derivabile
$x|x|$ è $C^1$ (la sua derivata è $2|x|$) ma non è $C^2$ (ovvio, no?)
"conoscendoti", non penso che devo continuare
Ma se oggi sei pigro, prendi $x^2|x|$, ovvero $|x^3|$
ciao
Grazie!!! 
Sei sempre il solito mitico punto di riferimento di questo forum...
P.S. 1: Per curiosità, andrebbero bene anche gli esempi fatti da me?
P.S. 2: A dir la verità, più che pigro, in 'sto periodo sono a pezzi...
Ciao.
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P.S. 1: Per curiosità, andrebbero bene anche gli esempi fatti da me?
P.S. 2: A dir la verità, più che pigro, in 'sto periodo sono a pezzi...
Ciao.
"amel":povero forum...
Sei sempre il solito mitico punto di riferimento di questo forum...
"amel":
P.S. 1: Per curiosità, andrebbero bene anche gli esempi fatti da me?
P.S. 2: A dir la verità, più che pigro, in 'sto periodo sono a pezzi...
Sono più pigro io di te, comunque, senza alcun dubbio.
Ho fatto l'esempio perché non avevo voglia di controllare i conti, soprattutto per il secondo.
Comunque, il primo quasi ok, nel senso che ci vuole un modulo: $|x|^a$
Il secondo è una estensione del classico caso $x^2 \sin (1/x)$ e quindi, se hai fatto bene i conti delle derivate, non vedo problemi (io non li faccio, tanto li sbaglio con prob 0.99999999...)
"Fioravante Patrone":
Comunque, il primo quasi ok, nel senso che ci vuole un modulo: $|x|^a$
Grazie è vero
(sorry)"Fioravante Patrone":
povero forum...
Esagerato.
Più semplice ancora:
$f(x)=\{(0, ", se "xle0),(x^3, ", se "xge 0):}$.
$f(x)=\{(0, ", se "xle0),(x^3, ", se "xge 0):}$.
C'è un esempio ancora più semplice. Neanche un conto
Prendo la funzione di Weierstrass.
Ne prendo la funzione integrale (punto di partenza 0, ad esempio).
E poi prendo la funzione integrale di questa qui (sempre a partire da 0).
Ovviamente, visto che la funzione di Weierstrass è continua, la funzione ottenuta è di classe $C^2$, ma non ammette mai derivata terza in nessun punto.
Prendo la funzione di Weierstrass.
Ne prendo la funzione integrale (punto di partenza 0, ad esempio).
E poi prendo la funzione integrale di questa qui (sempre a partire da 0).
Ovviamente, visto che la funzione di Weierstrass è continua, la funzione ottenuta è di classe $C^2$, ma non ammette mai derivata terza in nessun punto.
Anche la mia si ottiene con due integrazioni successive di punto iniziale $0$... ed è più semplice della tua! 
Ma il tuo è un esempio delizioso!
E' soluzione del problema di Cauchy:
$y' = 3 root(3)(y^2) $ e c.i. $y(0) = 0$.
Esempio carino di equazione differenziale a variabili separabili (ovvio, è autonoma...) con secondo membro funzione continua ma che non ha unicità della soluzione (esistenza sì, grazie al teorema di Peano).
Oltre a lei sono soluzioni anche $x^3$ e la funzione identicamente nulla.
A dire il vero, di soluzioni ce ne sono infinite.
EDIT: corretto errore di stampa
E' soluzione del problema di Cauchy:
$y' = 3 root(3)(y^2) $ e c.i. $y(0) = 0$.
Esempio carino di equazione differenziale a variabili separabili (ovvio, è autonoma...) con secondo membro funzione continua ma che non ha unicità della soluzione (esistenza sì, grazie al teorema di Peano).
Oltre a lei sono soluzioni anche $x^3$ e la funzione identicamente nulla.
A dire il vero, di soluzioni ce ne sono infinite.
EDIT: corretto errore di stampa
"Fioravante Patrone":
Ma il tuo è un esempio delizioso!
E' soluzione del problema di Cauchy:
$y' = 3 root(3)(x^2) $ e c.i. $y(0) = 0$.
Esempio carino di equazione differenziale a variabili separabili (ovvio, è autonoma...) con secondo membro funzione continua ma che non ha unicità della soluzione (esistenza sì, grazie al teorema di Peano).
Oltre a lei sono soluzioni anche $x^3$ e la funzione identicamente nulla.
A dire il vero, di soluzioni ce ne sono infinite.
Colto in castagna!
L'equazione differenziale del p.C. è $y' = 3 root(3)(y^2)$ (altrimenti mica sarebbe autonoma?).
La funzione a secondo membro non è lipschitziana, perciò non si può assicurare l'unicità delle soluzioni del p.C..
"gugo82":Sì, disse il verme.
Colto in castagna!
"gugo82":E' un ovvio errore di stumpa. Correggo.
L'eq. differenziale è $y' = 3 root(3)(y^2)$ (altrimenti mica sarebbe autonoma?).
"Fioravante Patrone":E' un ovvio errore di stumpa.[/quote]
[quote="gugo82"]L'eq. differenziale è $y' = 3 root(3)(y^2)$ (altrimenti mica sarebbe autonoma?).
Avei dovuto scrivere così:
E' un ovvio errore di stumpa. (cit.)
La frase non è mia, ma di una collega pavese.
La uso raramente, ma almeno una volta è già comparsa sul forum:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp88208.html#88208
E' un ovvio errore di stumpa. (cit.)
La frase non è mia, ma di una collega pavese.
La uso raramente, ma almeno una volta è già comparsa sul forum:
https://www.matematicamente.it/forum/-vp88208.html#88208
Per chi non l'avesse presente ricordo che la funzione di Weierstrass è data da $f(x) = sum_(k=1)^oo sin(pik^2x)/(pik^2) $ che ha l'interessante caratteristica di essere continua ovunque ma derivabile in nessun punto.
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