Funzione di Bessel di prima specie

[marcptoni1996]

Salve mi servirebbero alcune delucidazioni sull'andamento delle funzioni di bessel di prima specie, in particolare quando l'argomento tende a zero o per argomento nullo. Nello studio delle strutture guidanti a microonde si ottiene una funzione di questo tipo:

$h_z(r,\theta)=C J_n(\chi r) cos(n \theta + \phi)$

nel caso di indice zero, si ha che per r tendente a zero o per r nullo, la funzione di bessel di prima specie vale circa 1 e dunque fin qui ci sono (sempre che sia giusto quello che ho appena detto). Il problema sorge per funzioni di bessel di ordine superiore o per la derivata della funzione di bessel di ordine zero. Infatti dai grafici delle funzioni di ordine superiori mi verrebbe da dire che tutte per r=0 sono nulle... è corretto?

[pilloeffe]

Mi pare corretto.
Si ha:

$(\del J_{\nu}(z))/(\del \nu)|_{\nu = 0} = \pi/2 Y_0 (z) $

Numerose altre utili relazioni sono reperibili ad esempio qui.

[marcptoni1996]

però quello che mi chiedevo io era se $\frac{\partial J_n(\chi r)}{\partial r}=0$ per r=0..... perchè nel mio caso campo elettrico e magnetico dipendono dalla derivata della funzione di bessel....

Le funzioni di ordine superiore allo zero sono tutte nulle quando l'argomento è zero?

[pilloeffe]

Ah, allora non avevo capito...
A me risulta la relazione seguente:

$ \frac{\partial J_n(\chi r)}{\partial r}= 1/2 \chi [J_{n - 1}(\chi r) - J_{n + 1}(\chi r)] $

Quindi naturalmente per $r = 0 $ si ha:

$ [\frac{\partial J_n(\chi r)}{\partial r}]_{r = 0} = 1/2 \chi [J_{n - 1}(0) - J_{n + 1}(0)] $