Funzione di 2variabili: continuità nell'origine

ross.dream
Salve,
sto risolvendo alcuni appelli di Analisi II ed un esercizio ricorrente è relativo alla continuità nell'origine di una funzione data.

Ad esempio: data la funzione $f(x,y)= (2xy)/(1+x^2+y^2)$, provare che è continua nell'origine.
Per provare la continuità di questa funzione, ho considerato due curve in $R^2$, ed ho verificato se, lungo di esse, il limite di $f(x,y)$ assume lo stesso valore.
Intanto, ho calcolato i limiti "iterati", prima per $x=0$ e poi per $y=0$, ed il valore in entrambi i casi è 0.
Dopodiché, ho considerato le curve $y=x$ e $y=x^2$ (entrambe uscenti dall'origine), e, calcolando il limite per $(x,y)->(0,0)$, ho ottenuto ancora 0 in entrambi i casi. Quindi, per il teorema di unicità del limite, il limite della f esiste, e quindi la funzione è continua nell'origine. Il procedimento va bene? Oppure c'è qualcosa che non va?
Vi ringrazio!;)

Risposte
serpo50
la funzione è derivabile nel punto 0,0 e quindi è ivi continua.

fireball1
Non puoi mostrare che la funzione è continua in (0,0) in questo modo; il limite dev'essere lo stesso QUALUNQUE
percorso tu scelga per arrivare a (0,0). Ti suggerisco di passare a coordinate polari e di far vedere che il limite
della funzione, quando la distanza dall'origine tende a 0, è uguale al valore della funzione in (0,0) (cioè 0) PER OGNI valore della coordinata angolare.

fireball1
Il tuo procedimento va bene quando devi mostrare la NON esistenza del limite: in questo caso, se esistono due curve lungo
le quali il limite è diverso, allora PER IL THM DI UNICITA' non esiste il limite!

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