Funzione di 2 variabili ricerca max e min e max
. Data la funzione
$f(x, y) =sqrt(|x^2 − 2x + 4y^2|)$
• determinare i massimi e i minimi relativi di f in $RR^2$;
• determinare il massimo e il minimo assoluto di f in [0, 1] × [0, 1].
Già nel punto uno ho delle difficoltà, è evidente che la funzione presenterà dei massimi e dei minimi, dato che è in un valore assoluto, il che appunto la rende suscettibile a repentine variazioni.
Allora vado a studiare le derivate parziali, visto che per sua natura la funzione è definita su tutto $RR^2$
permettetemi una notazione più "snella"
$f_x=((x-1)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
$f_y=((4y)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
Tutto questo si azzera evidentemente nel punto $(1,0)$
Vi risparmierei i conti delle derivate seconde e passerei direttamente alla Matrice $D^2(f)$ calcolata in $(1,0)$
infatti dopo un po' di conti e con il corretto utilizzo della funzione $sgn$ sono arrivato capire che la matrice è semidefinita negativa il che implica che $(1,0)$ sia di max relativo.
Per scrupolo provo a vedere come si comporta ad un infinito, ad esempio faccio per $x=y$
$\lim_{x \to \infty}sqrt(|5x^2 − 2x|)$
che necessariamente $infty$
Allora da qualche parte deve esserci un minimo, altrimenti non si spiega, ma poichè va all'infinito dappertutto ci dovrà essere una intera linea di livello di minimi... ma perchè allora non mi risulta dallo studio compiuto sulle derivate, devo aver sbagliato qualcosa.
Tutto colpa del valore assoluto, mi manda spesso in confusione!
Credo che il proseguimento dell'esercizio non sia difficile, trovati tutti i minimi si guarda in che misura stanno dentro il dominio che mi è stato dato, ma si osserva che il mio max già ci sta e quindi non dovrei avere problemi.
$f(x, y) =sqrt(|x^2 − 2x + 4y^2|)$
• determinare i massimi e i minimi relativi di f in $RR^2$;
• determinare il massimo e il minimo assoluto di f in [0, 1] × [0, 1].
Già nel punto uno ho delle difficoltà, è evidente che la funzione presenterà dei massimi e dei minimi, dato che è in un valore assoluto, il che appunto la rende suscettibile a repentine variazioni.
Allora vado a studiare le derivate parziali, visto che per sua natura la funzione è definita su tutto $RR^2$
permettetemi una notazione più "snella"
$f_x=((x-1)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
$f_y=((4y)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
Tutto questo si azzera evidentemente nel punto $(1,0)$
Vi risparmierei i conti delle derivate seconde e passerei direttamente alla Matrice $D^2(f)$ calcolata in $(1,0)$
infatti dopo un po' di conti e con il corretto utilizzo della funzione $sgn$ sono arrivato capire che la matrice è semidefinita negativa il che implica che $(1,0)$ sia di max relativo.
Per scrupolo provo a vedere come si comporta ad un infinito, ad esempio faccio per $x=y$
$\lim_{x \to \infty}sqrt(|5x^2 − 2x|)$
che necessariamente $infty$
Allora da qualche parte deve esserci un minimo, altrimenti non si spiega, ma poichè va all'infinito dappertutto ci dovrà essere una intera linea di livello di minimi... ma perchè allora non mi risulta dallo studio compiuto sulle derivate, devo aver sbagliato qualcosa.
Tutto colpa del valore assoluto, mi manda spesso in confusione!
Credo che il proseguimento dell'esercizio non sia difficile, trovati tutti i minimi si guarda in che misura stanno dentro il dominio che mi è stato dato, ma si osserva che il mio max già ci sta e quindi non dovrei avere problemi.
Risposte
Non saprei, ma tutte e due le derivate parziali non sono definite se
$x^2-2x+4y^2=0$
cioè non sono definite su un'ellisse, qui secondo me giacciono i candidati minimi, ma o mi sfugge un teorema oppure c'è qualche errore!
$x^2-2x+4y^2=0$
cioè non sono definite su un'ellisse, qui secondo me giacciono i candidati minimi, ma o mi sfugge un teorema oppure c'è qualche errore!
"Boxyes":Minimi, si. Massimi, non è così "evidente" che ce ne saranno, anzi se dovessi scommettere scommetterei che non ce n'è nemmeno uno.
è evidente che la funzione presenterà dei massimi e dei minimi
Allora vado a studiare le derivate parziali, visto che per sua natura la funzione è definita su tutto $RR^2$
permettetemi una notazione più "snella"
$f_x=((x-1)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
$f_y=((4y)/sqrt(|x^2-2x+4y^2|))sgn(x^2-2x+4y^2)$
Tutto questo si azzera evidentemente nel punto $(1,0)$
Ti sei scordato di considerare il luogo dei punti in cui il valore assoluto si annulla. Si tratta di una linea di punti singolari e quindi in corrispondenza di essa le derivate non ti dicono proprio nulla. Devi ragionare in qualche altro modo per capire la natura di questi punti singolari: se sono minimi, massimi, niente... E' facile, però. Pensa a cosa succede in una dimensione con la funzione \(\sqrt{\lvert t \rvert}\). Qual è la natura del punto singolare \(t=0\) in questo caso?
infatti dopo un po' di conti e con il corretto utilizzo della funzione $sgn$ sono arrivato capire che la matrice è semidefinita negativa il che implica che $(1,0)$ sia di max relativo.No. Questo è un errore che ho trovato anche in libri di meccanica per universitari, pensa un po'. Ma non è vero. Se la matrice è definita negativa allora il punto è di massimo, se è solo semidefinita puoi solo dire che non è un minimo, ma potrebbe non essere un massimo.
Allora da qualche parte deve esserci un minimo, altrimenti non si spiega, ma poichè va all'infinito dappertutto ci dovrà essere una intera linea di livello di minimi...
Eh si, penso anche io! Chissà chi sarà, questa linea di minimi...
Allora vediamo: sì esatto come osservato allora vado a studiare il caso in cui
$x^2−2x+4y^2=0$
Poichè qui ho dei punti di cuspide ( non vorrei sbagliarmi), quindi infatti come risultava dallo studio successivo qui è dove anche le derivate non sono definite.
Su queste ellisse si troveranno allora i miei punti di minimo, e intuitivamente ci arrivo anche conoscendo il "comportamento" del valore assoluto, ma come faccio a giustificarlo rigorosamente?
Poi per il discorso del massimo, forse mi sono confuso, se il determinante è maggiore di 0 e la traccia è negativa, evidentemente ho sbagliato, ma in questo caso è definita negativa quindi credo di poter affermare quanto detto sul massimo.
$x^2−2x+4y^2=0$
Poichè qui ho dei punti di cuspide ( non vorrei sbagliarmi), quindi infatti come risultava dallo studio successivo qui è dove anche le derivate non sono definite.
Su queste ellisse si troveranno allora i miei punti di minimo, e intuitivamente ci arrivo anche conoscendo il "comportamento" del valore assoluto, ma come faccio a giustificarlo rigorosamente?
Poi per il discorso del massimo, forse mi sono confuso, se il determinante è maggiore di 0 e la traccia è negativa, evidentemente ho sbagliato, ma in questo caso è definita negativa quindi credo di poter affermare quanto detto sul massimo.
E si, quel punto sarà probabilmente un massimo che cade dentro l'ellisse di minimi. Poi dire che quelli sono minimi è immediato: guarda, la tua funzione è ovunque positiva e sull'ellisse si annulla. Che cosa concludi?
bhe, sì che quelli sono dei minimi dato che la funzione non si azzera da nessun'altra parte, ok capito.
E per la seconda parte?
vediamo in base a tutto quello che ho osservato i minimi assoluti nell'intervallo considerato sono gli stessi che ho studiato per tutta la funzione; cioè
$min(f(x,y))={x^2-2x+4y^2:(x,y) in [0,1]xx[0,1]}$
bene però per i massimi assoluti stavo pensando di utilizzare i moltiplicatori di Lagrange sul vincolo
$g(x)=y-1$
Sbaglio?
solo che mi blocco ad un certo punto
$\Lambda (x,y,\lambda)=sqrt(|x^2-2x+4y^2|)+\lambda(y-1)$
calcolo le derivate parziali le metto uguali a zero e trovo (1,1) e $\lambda=4/sqrt(3)$ ma quel lambda dosa vuol dire?
E per la seconda parte?
vediamo in base a tutto quello che ho osservato i minimi assoluti nell'intervallo considerato sono gli stessi che ho studiato per tutta la funzione; cioè
$min(f(x,y))={x^2-2x+4y^2:(x,y) in [0,1]xx[0,1]}$
bene però per i massimi assoluti stavo pensando di utilizzare i moltiplicatori di Lagrange sul vincolo
$g(x)=y-1$
Sbaglio?
solo che mi blocco ad un certo punto
$\Lambda (x,y,\lambda)=sqrt(|x^2-2x+4y^2|)+\lambda(y-1)$
calcolo le derivate parziali le metto uguali a zero e trovo (1,1) e $\lambda=4/sqrt(3)$ ma quel lambda dosa vuol dire?
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