Funzione derivata e valori intermedi

[asromavale1]

nella speranza che qualcuno chiarisca i miei dubbi posto il seguente teorema con relativa dimostrazione:
Teorema : sia $f(x)$ derivabile in $[a,b]$; per ogni $y_o$ compreso tra i valori $f'(a),f'(b)$ esiste $x_0 in [a,b]$ tale che $f'(x_0)=y_0$

dimostrazione: se $y_0=f'(a)$, oppure $y_0=f'(b)$, non c'è nulla da provare;consideriamo il caso$f'(a) la funzione $g(x)=f(x)-y_0*x$ ha derivata $g'(x)=f'(x)-y_0$ che assume valori di segno discorde all' interno dell' intervallo $[a,b]$, essendo
(1) $g'(a)=f'(a)-y_0<0, g'(b)=f'(b)-y_0>0$
per il teorema della permanenza del segno esistono (e qui il mio primo dubbio) $h>0$ e $k<0$ tali che $a+h$ e $b+k in (a,b)$ e inoltre
(2) $(g(a+h)-g(a))/h<0, (g(b+k)-g(b))/k>0$

da cui $g(a)>g(a+h)$, mentre $g(b+k) Ciò implica che esistono $x_1,x_2 in [a,b]$, con $x_1!=x_2$, tali che $g(x_1)=g(x_2)$;per provare ciò consideriamo i seguenti tre casi:
(i) $g(a)=g(b)$: basta prendere $x_1=a,x_2=b$.
(ii)$g(a) (3) $y in [g(a+h),g(a)] sub [g(a+h),g(b)]$
esistono $x_1 in [a,a+h]$ e $x_2 in [a+h,b]$ tali che $g(x_1)=g(x_2)=y$
(iii)$g(a)>g(b)$:si procede in modo analogo al caso precedente;cioè.essendo $g(b+h) (4) $y in [g(b+k),g(b)] sub [g(a),g(b+k)]$
esistono $x_1 in [b,b+k]$ e $x_2 in [a,b+k]$ tali che $g(x_1)=g(x_2)=y$.
infine per il teorema di Rolle, esiste un punto $x_0$, nell' intervallo di estremi $x_1,x_2$, con la proprietà che $g'(x_0)=0$; cioè, tale che $f'(x_0)=y_0$

Ora i miei dubbi sono due:
(d1) non capisco quando applica il teorema della permanenza del segno. perchè esistono $h>0$ e $k<0$ tali che $a+h$ e $b+k in (a,b)$ e inoltre
$(g(a+h)-g(a))/h<0, (g(b+k)-g(b))/k>0$ ?
io so che il teorema della permanenza del segno afferma che se una funzione $f(x)$ ha $ lim_(x -> x_0) f(x)=l!=0 $ esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$,privato al più del punto $x_0$, in cui la funzione assume lo stesso segno di $l$ ma non capisco come venga applicato e perchè esistono $h>0$ e $k<0$ tali che $a+h$ e $b+k in (a,b)$
(d2) quando afferma che esistono $x_1 in [a,a+h]$ e $x_2 in [a+h,b]$ tali che $g(x_1)=g(x_2)=y$ .Il mio dubbio è : $x_1$e $x_2$ potrebbero entrambe essere $a+h$ poichè $x_1 in [a,a+h]$ e $x_2 in [a+h,b]$ ma allora $x_1=x_2$ mentre precedentemente si era detto di dimostrare che esistono $x_1,x_2 in [a,b]$, con $x_1!=x_2$, tali che $g(x_1)=g(x_2)$
grazie in anticipo

[ostrogoto1]

Per la definizione di derivata
$ g'(a)= lim_(tilde(h)rarr0^+)(g(a+tilde(h))-g(a))/tilde(h) $ essendo a l'estremo sinistro dell'intervallo quindi si fa il limite muovendosi da destra verso sinistra. Il teorema della permanenza del segno garantisce che per i punti di un certo intorno di 0 (quindi ancora essendo il limite "da destra" l'intorno si riduce a un certo intervallo $(0,h_0) $ con $ h_0>0 $) l'argomento del limite abbia lo stesso segno del limite, cioe':
$ g'(a)<0 rArr (g(a+h)-g(a))/h<0 $ con $ hin(0,h_0) $

[asromavale1]

ti ringrazio . invece per quanto riguarda il mio secondo dubbio segnato come (d2)?

[ostrogoto1]

Penso che nel caso in cui uno scelga x=a+h e questo sia il punto in cui g(x) ha un minimo allora effettivamente puo' essere $ x_1=x_2 $ ma in tal caso d'altra parte ho anche finito la dimostrazione perche' cercavo proprio il punto in cui g'(x)=0!

[asromavale1]

si ma chi mi garantisce che $x=a+h$ è il punto in cui $g(x)$ ha un minimo?

[ostrogoto1]

Sul mio testo universitario il teorema che garantisce che una funzione continua assuma tutti i valori intermedi recita cosi:

Sia $ f:mathbb(R)rarrmathbb(R) $ continua su [a,b]. Se $ f(a)
In particolare l'intervallo al quale appartiene x e' aperto!


Poi effettivamente il punto x=a+h e' un minimo se l'intervallo (a,a+h) e' il piu' grande per il quale vale il teorema di permanenza del segno perche' allora la derivata passa da negativa a 0! Pero' lo affermo a posteriori !

Tra l'altro la dimostrazione del mio libro e' un poco diversa nella parte finale:

Th. Sia $ f:[a,b]rarrmathbb(R) $ differenziabile; sia $lambdainmathbb(R) $ tale che $ f'(a)
Dim. consideriamo la funzione ausiliaria
$ g(x)=f(x)-lambdax $.
$ g:[a,b]rarrmathbb(R) $ e' differenziabile in [a,b] e
$ g'(a)=f'(a)-lambda<0 $
$ g'(b)=f'(b)-lambda>0 $
Poiche'
$ g'(a)=lim_(hrarr0^+)(g(a+h)-g(a))/h $
per un noto teorema sui limiti segue
$ (g(a+h)-g(a))/h<0 $
per tutti gli h in un intorno destro di h=0. Quindi g(a+h)

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[asromavale1]

grazie del tempo dedicatomi e della dimostrazione alternativa

[dissonance]

"ostrogoto":Sul mio testo universitario il teorema che garantisce che una funzione continua assuma tutti i valori intermedi recita cosi:

Sia $ f:mathbb(R)rarrmathbb(R) $ continua su [a,b]. Se $ f(a)
In particolare l'intervallo al quale appartiene x e' aperto!

E questo che c'entra con la domanda originale?

[ostrogoto1]

Non ho completato il discorso ma secondo me si potrebbe considerare che l'intervallo in (3) nella dimostrazione scritta nel primo messaggio da asromavale possa essere aperto e non chiuso. Poi non ho fatto i conti ma potrebbe essere possibile che sia sufficiente pescare un solo valore di y per continuare nella dimostrazione e non necessariamente prendere il valore critico g(a+h).