Funzione derivabile su tutto R
Salve ragazzi,
L'esercizio mi chiede di determinare $a$ e $b$ tali che risulti derivabile su tutto $R$ la funzione $f:R\rightarrowR$ cosi definita :
$$f(x)=a, x\le0$$
$$f(x)=\sqrt{b+4x}-x, x>0$$
Io mi sono mosso nel seguente modo:
$$\lim _{h\to 0}\left(\frac{\sqrt{b+4h}-h-\sqrt{b}}{h}\right)\rightarrow \color{red}{L'Hopital} = \lim _{h\to \:0}\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{b+4h}}-1}{1}\right)=\color{red}{\frac{2}{\sqrt{b}}-1}$$
A questo punto gli unici valori possibili che mi vengono sono $a = 1$, $b = 1$(tra le possibili soluzioni)
Però quelli cercate sono $\color{red}{a = 2}$, $\color{red}{b = 4}$
Potete indicarmi dove sbaglio? Grazie
L'esercizio mi chiede di determinare $a$ e $b$ tali che risulti derivabile su tutto $R$ la funzione $f:R\rightarrowR$ cosi definita :
$$f(x)=a, x\le0$$
$$f(x)=\sqrt{b+4x}-x, x>0$$
Io mi sono mosso nel seguente modo:
$$\lim _{h\to 0}\left(\frac{\sqrt{b+4h}-h-\sqrt{b}}{h}\right)\rightarrow \color{red}{L'Hopital} = \lim _{h\to \:0}\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{b+4h}}-1}{1}\right)=\color{red}{\frac{2}{\sqrt{b}}-1}$$
A questo punto gli unici valori possibili che mi vengono sono $a = 1$, $b = 1$(tra le possibili soluzioni)
Però quelli cercate sono $\color{red}{a = 2}$, $\color{red}{b = 4}$
Potete indicarmi dove sbaglio? Grazie
Risposte
Prima di tutto nel punto $x=0$ deve essere continua cioè $a=sqrt(b)$, poi la derivata in zero del ramo di sinistra è zero quindi la derivata del ramo di destra nello stesso punto deve essere $0=2/(sqrt(b))-1$ da cui $sqrt(b)=2$ ovvero $b=4$ e quindi $a=2$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
La ringrazio
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