Funzione derivabile nell'origine
salve mi spiegate come risolvere questo quesito?
Per quali a ∈ R la funzione
f(x) = e^(ax) − 1, x ≤ 0
sin(ax), x > 0
è derivabile nell’origine?
Grazie
Per quali a ∈ R la funzione
f(x) = e^(ax) − 1, x ≤ 0
sin(ax), x > 0
è derivabile nell’origine?
Grazie
Risposte
Quando una funzione è derivabile in un punto?
Ciao simo996,
Riscrivo il quesito, solo per essere sicuro di aver interpretato correttamente.
Per quali $a \in \RR$ la funzione
$f(x) := {(e^{ax} − 1, text{ per } x \le 0),(sin(ax), text{ per } x > 0):}$
è derivabile nell’origine?
Innanzitutto osserva che $lim_{x \to 0^-} f(x) = lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, per cui la funzione proposta è continua in $x_0 = 0$. Perché sia derivabile in $x_0 = 0$ devi imporre che la derivata per $x \to 0^-$ sia uguale alla derivata per $x \to 0^+$...
Riscrivo il quesito, solo per essere sicuro di aver interpretato correttamente.
Per quali $a \in \RR$ la funzione
$f(x) := {(e^{ax} − 1, text{ per } x \le 0),(sin(ax), text{ per } x > 0):}$
è derivabile nell’origine?
Innanzitutto osserva che $lim_{x \to 0^-} f(x) = lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, per cui la funzione proposta è continua in $x_0 = 0$. Perché sia derivabile in $x_0 = 0$ devi imporre che la derivata per $x \to 0^-$ sia uguale alla derivata per $x \to 0^+$...
"pilloeffe":
Ciao simo996,
Riscrivo il quesito, solo per essere sicuro di aver interpretato correttamente.
Per quali $a \in \RR$ la funzione
$f(x) := {(e^{ax} − 1, text{ per } x \le 0),(sin(ax), text{ per } x > 0):}$
è derivabile nell’origine?
Innanzitutto osserva che $lim_{x \to 0^-} f(x) = lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$, per cui la funzione proposta è continua in $x_0 = 0$. Perché sia derivabile in $x_0 = 0$ devi imporre che la derivata per $x \to 0^-$ sia uguale alla derivata per $x \to 0^+$...
in questo caso sbaglio o le derivate sono diverse tra loro?
No, non sbagli: per la derivata sinistra dovrai considerare $f(x) = e^{ax} - 1$, per la derivata destra $f(x) = sin(ax)$...
"pilloeffe":
No, non sbagli: per la derivata sinistra dovrai considerare $f(x) = e^{ax} - 1$, per la derivata destra $f(x) = sin(ax)$...
quindi per quali a è derivabile?
"simo996":
quindi per quali a è derivabile?
Eh, per tutti gli $a \in \RR $ per i quali la derivata destra è uguale alla derivata sinistra, cioè
$lim_{x \to x_0^+} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = lim_{x \to x_0^-} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $
che nel caso di $x_0 = 0$ diventa:
$lim_{x \to 0^+} frac{f(x) - f(0)}{x} = lim_{x \to 0^-} frac{f(x) - f(0)}{x} $
Nel caso della $f(x)$ proposta $f(0) = 0$, per cui si ha...
"simo996":
quindi per quali a è derivabile?
Qualcosa la devi fare tu, come vedi qui non ti si darà la pappa pronta. Fai un tentativo di soluzione e scrivilo qui, senza pigrizia. Poi lo commentiamo.
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