Funzione derivabile n-volte e classe di appartenenza

[iH8u]

Salve,

sul mio libro vi è scritto il seguente:

"Diciamo che $f$ è derivabile $n$ volte in $c$ quando la sua derivata $(n-1)$-esima di $f$ è derivabile $c$"

Poiché segue: "Diciamo che una funzione è indefinitamente derivabile quando essa è derivabile $n$ volte $AAn in mathbb(N)\\{0}$"

Ma soprattutto: "$f$ è una funzione di classe $mathbb(C)^n$ quando $f$ è derivabile $n$ volte e la funzione $f^(n)$ è continua, e diciamo che $f$ è una funzione di classe $mathbb(C)^∞$ quando $f$ è indefinitamente derivabile."

Sinceramente non mi è chiara la differenza fra le due.. qualcuno mi potrebbe illuminare per favore?

Grazie.

[walter891]

il fatto che una qualunque funzione sia derivabile non implica che la sua derivata sia continua, se tieni presente questo dovresti accorgerti della differenza

[iH8u]

"walter89":il fatto che una qualunque funzione sia derivabile non implica che la sua derivata sia continua, se tieni presente questo dovresti accorgerti della differenza

Si, prendendo come esempio $y=|x|$, la sua derivata:

$ sgn(x) { ( 1 if x>0 ),( 0 if x=0 ),( -1 if x<0 ):} $

Ma qual'è la differenza fa funzione derivabile $n$-volte e funzione indefinitamente derivabile?

[gugo82]

Due cose.
In primis, non mi risulta che il valore assoluto sia derivabile in \(0\), quindi...

In secundis, per costruire qualche esempio, prendi le tre funzioni:
\[
\begin{split}
f_1 (x) &:= \begin{cases} x\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}\\
f_2 (x) &:= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}\\
f_3 (x) &:= \begin{cases} x^3\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\end{split}
\]
e chiediti: sono derivabili nel loro insieme di definizione (che è \(\mathbb{R}\))? Quante volte? Quante delle loro derivate sono continue in tutto \(\mathbb{R}\)?
E cosa mi dici della funzione \(g(x):=e^x\), ad esempio?

[iH8u]

"gugo82":Due cose.
In primis, non mi risulta che il valore assoluto sia derivabile in \(0\), quindi...

In secundis, per costruire qualche esempio, prendi le tre funzioni:
\[
\begin{split}
f_1 (x) &:= \begin{cases} x\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}\\
f_2 (x) &:= \begin{cases} x^2\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}\\
f_3 (x) &:= \begin{cases} x^3\ \sin \frac{1}{x} & \text{, se } x\neq 0\\
0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\end{split}
\]
e chiediti: sono derivabili nel loro insieme di definizione (che è \(\mathbb{R}\))? Quante volte? Quante delle loro derivate sono continue in tutto \(\mathbb{R}\)?
E cosa mi dici della funzione \(g(x):=e^x\), ad esempio?

Tutto chiaro, grazie mille.