Funzione derivabile infinite volte ma non analitica
Ciao!
Sto studiando Analisi 1, ma non riesco a capire questo esempio di funzione derivabile infinite volte ma non analitica:
Consideriamo f:$RR$ -> $RR$ f(x) = ${(0,if x $<=$ 0 ),($e^- $1/x$$,if x $>$ 0 ) :}$
f è derivabile inifinite volte in 0 e $D^m$f(0) = 0 per ogni m in $NN$ (Perchè? Riesco a capirlo intuitivamente, ma non saprei spiegarlo rigorosamente!)
Quindi f non è espandibile in serie di Taylor in c=0 perchè se lo fosse sarebbe f(x) = $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ = 0 per ogni x in u intorno di 0. (che non è vero)
$rArr$ Questa funzione non è analitica.
...grazie in anticipo per qualsiasi delucidazione a riguardo!
Sto studiando Analisi 1, ma non riesco a capire questo esempio di funzione derivabile infinite volte ma non analitica:
Consideriamo f:$RR$ -> $RR$ f(x) = ${(0,if x $<=$ 0 ),($e^- $1/x$$,if x $>$ 0 ) :}$
f è derivabile inifinite volte in 0 e $D^m$f(0) = 0 per ogni m in $NN$ (Perchè? Riesco a capirlo intuitivamente, ma non saprei spiegarlo rigorosamente!)
Quindi f non è espandibile in serie di Taylor in c=0 perchè se lo fosse sarebbe f(x) = $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ = 0 per ogni x in u intorno di 0. (che non è vero)
$rArr$ Questa funzione non è analitica.
...grazie in anticipo per qualsiasi delucidazione a riguardo!
Risposte
Che [tex]$f\in C^\infty$[/tex] e [tex]$D^m f(0)=0$[/tex] si può provare rigorosamente facendo induzione sull'ordine di derivazione.
Se non ricordo male, tutto sta a provare che, per ogni [tex]$m\in \mathbb{N}$[/tex], esiste un polinomio [tex]$p_m(y)$[/tex] (di grado al più [tex]$2m$[/tex]) tale che:
[tex]$D^m f(x) =p_m(\tfrac{1}{x})\ e^{-\frac{1}{x}}$[/tex]
per [tex]$x\neq 0$[/tex]; ma passando al limite trovi che [tex]$\lim_{x\to 0} D^m f(x)=0$[/tex], sicché puoi prolungare per continuità ogni derivata su [tex]$0$[/tex].
Fatto ciò hai finito, ovviamente.
Se non ricordo male, tutto sta a provare che, per ogni [tex]$m\in \mathbb{N}$[/tex], esiste un polinomio [tex]$p_m(y)$[/tex] (di grado al più [tex]$2m$[/tex]) tale che:
[tex]$D^m f(x) =p_m(\tfrac{1}{x})\ e^{-\frac{1}{x}}$[/tex]
per [tex]$x\neq 0$[/tex]; ma passando al limite trovi che [tex]$\lim_{x\to 0} D^m f(x)=0$[/tex], sicché puoi prolungare per continuità ogni derivata su [tex]$0$[/tex].
Fatto ciò hai finito, ovviamente.
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