Funzione derivabile in c, allora l'intorno?

[elena29031]

Ciao a tutti, mi sono appena iscritta, spero di non violare qualche regolamento con questa domanda
Nell'ultimo compito in classe ho trovato un quesito che diceva "data una funzione derivabile in un punto c con f'(c) strettamente crescente, dimostrare che f(c) è crescente in tale punto". Ho già trovato online una soluzione che usa il rapporto incrementale e quindi il mio problema non è la risoluzione in sé del quesito, ma mi è sorto un dubbio in merito. Se è detto che la funzione è derivabile nel punto c vuol dire che in un intorno di c deve anche essere continua, e se è continua i casi sono due: o è anche derivabile nell'intorno oppure ci sono punti di non derivabilità. Ammesso anche che ci siano dei punti di non derivabilità non si dovrebbe comunque trovare un intorno molto piccolo di c in cui posso dedurre che la funzione sia derivabile? Perché infatti io l'avevo inizialmente risolto supponendo questo, poi applicando Lagrange. Spero sia chiaro il mio dubbio, grazie mille

[Quinzio]

Prima di tutto non è vero che:

"data una funzione derivabile in un punto c con f'(c) strettamente crescente, f(c) è crescente in tale punto"

Se $f'(c)$ è crescente, ma negativa, ad esempio $f'(x)=x$ presa in -1, la $f(x)$ non è crescente....

è giusto il testo che hai copiato ?

[Rigel1]

"elena2903":Nell'ultimo compito in classe ho trovato un quesito che diceva "data una funzione derivabile in un punto c con f'(c) strettamente crescente, dimostrare che f(c) è crescente in tale punto".

Immagino che nel testo ci debba essere "con \(f'(c)\) strettamente positiva", non "strettamente crescente".

Ho già trovato online una soluzione che usa il rapporto incrementale e quindi il mio problema non è la risoluzione in sé del quesito, ma mi è sorto un dubbio in merito. Se è detto che la funzione è derivabile nel punto c vuol dire che in un intorno di c deve anche essere continua, e se è continua i casi sono due: o è anche derivabile nell'intorno oppure ci sono punti di non derivabilità. Ammesso anche che ci siano dei punti di non derivabilità non si dovrebbe comunque trovare un intorno molto piccolo di c in cui posso dedurre che la funzione sia derivabile? Perché infatti io l'avevo inizialmente risolto supponendo questo, poi applicando Lagrange. Spero sia chiaro il mio dubbio, grazie mille

Una funzione può essere derivabile in un punto e non esserlo in nessun altro punto (anzi, può anche essere discontinua in tutti gli altri punti).
Considera ad esempio la funzione di Dirichlet \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) che vale \(0\) sui punti razionali e \(1\) su quelli irrazionali. Definisci poi \(f(x) = x^2 g(x)\); non è difficile dimostrare che \(f\) è derivabile in \(x=0\), mentre non è nemmeno continua in tutti gli altri punti.

[elena29031]

sì scusate volevo dire strettamente positiva errore mio! comunque grazie @Rigel, negli studi che ho fatto fino ad ora non ho ancora incontrato funzioni del genere e quindi non riuscivo a capire come fosse possibile, grazie