Funzione derivabile e continua
Ciao ho una funzione del tipo
$ y=f(x)= {-x^2+3,se x<0,e^x+2,se x>0} $
devo vedere se la funzione è continua e derivabile nel punto di ascissa 0
Allora la condizione di continuità è $(lim_(x->0) -x^2+3=-(0)^2+3)$ quindi 3=3 poi eseguo la stessa cosa sulla seconda $(lim_(x->0) e^x+2=-e^0+2)$ 3=3 quindi è continua perchè si verifica l'ugualianza. poi la condizione di derivabilità $lim_(x->0) {-x^2+3-(0)^2-3}/{x-0}=0$ e corretto!?? perchè ho dei dubbi sulla condizione di derivabilità!!
l'esercizio è solo un esempio per capire la parte teorica
$ y=f(x)= {-x^2+3,se x<0,e^x+2,se x>0} $
devo vedere se la funzione è continua e derivabile nel punto di ascissa 0
Allora la condizione di continuità è $(lim_(x->0) -x^2+3=-(0)^2+3)$ quindi 3=3 poi eseguo la stessa cosa sulla seconda $(lim_(x->0) e^x+2=-e^0+2)$ 3=3 quindi è continua perchè si verifica l'ugualianza. poi la condizione di derivabilità $lim_(x->0) {-x^2+3-(0)^2-3}/{x-0}=0$ e corretto!?? perchè ho dei dubbi sulla condizione di derivabilità!!
l'esercizio è solo un esempio per capire la parte teorica
Risposte
Ricorda che i primi due limiti devono essere uno il limite destro e l'altro sinistro di $0$, anche se in $0$ non hai scritto quanto vale la funzione, per la derivabilità devi calcolare i due limiti destro e sinistro nello stesso modo, mentre tu l'hai calcolato solo per $x->0-$.
la condizione di continuità è corretta?
quindi per la derivabilità
$lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
$lim_(x->0^+)(-x^2+3-(0^+)-3)/(x-0^+)=0^+$
$lim_(x->0^-)(e^x+2-(e^0^-)+2)/(x-0^-)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
$lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
giusto? se è giusto questo che vuol dire? che siccome sono due valori finiti la funzione è derivabile?
quindi per la derivabilità
$lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
$lim_(x->0^+)(-x^2+3-(0^+)-3)/(x-0^+)=0^+$
$lim_(x->0^-)(e^x+2-(e^0^-)+2)/(x-0^-)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
$lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
giusto? se è giusto questo che vuol dire? che siccome sono due valori finiti la funzione è derivabile?
non sono quattro i limiti che devi fare 
, perchè in $0^-$ la funzione vale $-x^2+3$, mentre $0^+$ vale $e^x +2$
, perchè in $0^-$ la funzione vale $-x^2+3$, mentre $0^+$ vale $e^x +2$
che picio hai ragione
quindi per la derivabilità
$lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
$lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
quindi se è giusto ora? le conclusioni quali sono?
quindi per la derivabilità
$lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
$lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
quindi se è giusto ora? le conclusioni quali sono?
poi può però dire che esistono finite le derivate destra e sinistre, ma la funzione non è derivabile in $0$ perchè sono diverse
quindi in sostanza per definire una funzione continua devo far si che si verifichi l'ugualianza $lim_(x->x0) f(x)=f(x_0)$ dove in questo caso la funzione è composta $-x^2+3 if x<0$ e da $e^x+2 if x>0$ e $x_0=0$
Mentre per la derivabilità devo verificare se la derivata destra e sinistra è finita ed è la stessa per far si che la funzione sia derivabile
calcolando la derivata sx della funzione $-x^2+3, se x<0$
$lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ quindi in questo caso $lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
e la derivata destra della funzione $e^x+2, in x>0$
$lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ quindi in questo caso $lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
funzione $f(x)$ continua ma non derivabile...
è corretto?
Mentre per la derivabilità devo verificare se la derivata destra e sinistra è finita ed è la stessa per far si che la funzione sia derivabile
calcolando la derivata sx della funzione $-x^2+3, se x<0$
$lim_(x->x_0^-) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ quindi in questo caso $lim_(x->0^-)(-x^2+3-(0^-)-3)/(x-0^-)=0^-$
e la derivata destra della funzione $e^x+2, in x>0$
$lim_(x->x_0^+) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ quindi in questo caso $lim_(x->0^+)(e^x+2-(e^0^+)+2)/(x-0^+)=lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$
funzione $f(x)$ continua ma non derivabile...
è corretto?
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