Funzione derivabile
salve a tutti, ho questa funzione:
$ f(x)= ax^2 + b $ se $ x>= 1 $
$ f(x)= 2x + 2b $ se $ x< 1 $ vuole sapere per quali valori di a,b appartenenti a R la funzione è derivabile in x=1..
allora se la funzione è derivabile sarà anche continua, per cui infatti risulta:
$ lim x -> 1+ (ax^2 + b)= a + b $
$ lim x -> 1- (2x + 2b)= 2 + 2b $
quindi ho : $ a= 2 + b $
e fino a qua ci sono, poi io di solito proseguo facendo i limiti dei rapporti incrementali, anche se facendo subito la derivata in questo caso mi sbrigo prima... ma non mi risultano, mi potreste spiegare il perchè?
io ho fatto così:
$ lim h-> 1 (f(1+ h) - f(1) )/ h $
quindi $ lim-> 1 ( [a( 1 + h)^2 + b ] - ( a + b)) / h = 3a $
mentre l'altro limite mi risulta $ lim -> 1( [ 2( 1+ h ) + 2b ] - ( 2 + 2b)) / h = 2 $
ma è sbagliato perchè in questo modo avrei $ 3a=2 $
invece se faccio direttamente la derivata mi risulta giusto: ovvero $ 2ax $ quindi nel punto 1 : $ 2a $
e l'altro : $ 2$ quindi $ a= 1 $
cosa sbaglio?
$ f(x)= ax^2 + b $ se $ x>= 1 $
$ f(x)= 2x + 2b $ se $ x< 1 $ vuole sapere per quali valori di a,b appartenenti a R la funzione è derivabile in x=1..
allora se la funzione è derivabile sarà anche continua, per cui infatti risulta:
$ lim x -> 1+ (ax^2 + b)= a + b $
$ lim x -> 1- (2x + 2b)= 2 + 2b $
quindi ho : $ a= 2 + b $
e fino a qua ci sono, poi io di solito proseguo facendo i limiti dei rapporti incrementali, anche se facendo subito la derivata in questo caso mi sbrigo prima... ma non mi risultano, mi potreste spiegare il perchè?
io ho fatto così:
$ lim h-> 1 (f(1+ h) - f(1) )/ h $
quindi $ lim-> 1 ( [a( 1 + h)^2 + b ] - ( a + b)) / h = 3a $
mentre l'altro limite mi risulta $ lim -> 1( [ 2( 1+ h ) + 2b ] - ( 2 + 2b)) / h = 2 $
ma è sbagliato perchè in questo modo avrei $ 3a=2 $
invece se faccio direttamente la derivata mi risulta giusto: ovvero $ 2ax $ quindi nel punto 1 : $ 2a $
e l'altro : $ 2$ quindi $ a= 1 $
cosa sbaglio?
Risposte
Guarda che nel limite del rapporto incrementale $h\to 0$...
anche se deve essere derivabile in $x=1 $?
cmq la ringrazio, è risultato, finora avevo esercizi dove chiedeva i valori per cui la funzione era derivabile in $x=0$ e mi sono confusa.. grazie mille
Magari leggere con attenzione la definizione di derivata non farebbe male:
$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Per cui come vedi il punto dove calcolare la derivata è $x_0$, ma il limite lo si fa per $h\to 0$. In alternativa, se chiami $x=x_0+h$ puoi scrivere
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
ma per le applicazioni è quasi sempre meglio applicare l'altra forma.
$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
Per cui come vedi il punto dove calcolare la derivata è $x_0$, ma il limite lo si fa per $h\to 0$. In alternativa, se chiami $x=x_0+h$ puoi scrivere
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
ma per le applicazioni è quasi sempre meglio applicare l'altra forma.
ah ok... la ringrazio per l'attenzione.. è stato chiarissimo.. 
Mi fanno tutti vecchio e decrepito su sto forum... mo' non ci devo venì più! 
ahah..no no..anzi questo forum mi ha aiutato tantissimo, ho superato la prima parte di matematica con 30..
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