Funzione definita positiva

[luporaptor]

stabilire l'insieme dei parametri a per i quali la forma quadrattica $ Q(x,y,z)=4ax^2+(2a-1)y^2+4z^2 $ è definita positiva.Io ho calcolato la matrice hessiana. Nel caso di una matrice hessiana 2x2 avrei dovuto verificare la condizione di determinante>0 e traccia>0 per accertarmi fosse definita positiva. Nel caso invece di una 3x3 quali condizioni devo soddisfare? grazie

[Mino_01]

Osserva che
Una condizione sufficiente e necessaria affinché una matrice simmetrica sia definita positiva è che siano positivi tutti i suoi minori principali.
Oppure che siano positivi tutti i suoi autovalori.

da
Wendell Fleming
Functions of several variables
a pagina 104-105.

[luporaptor]

quindi nel mio caso la soluzione sarebbe : $ { ( 8a>0 ),( 2a-1>0 ):} $ da cui ricavo a>1/4....corretto?

[Mino_01]

Te cosa ne pensi ?

La prima disequazione è valida per i valori positivi di a.
La seconda per i valori di a maggiori di 1/2.

perciò ...

[luporaptor]

ho sbagliato a scrivere....la soluzione del sitema è a>1/2...

[Mino_01]

Infatti :

La matrice associata al polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabili x,y, z è diagonale:

$ || ( 4a , 0 , 0 ),( 0 , 2a-1 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) || $

quindi applicando la caratterizzazione dei minori principali positivi (si calcolano facilmente), hai il risultato.

Pensa che applicando la caratterizzazione su detta (condizione necessaria e sufficiente) ai risolto completamente il problema.
Se la condizione fosse stata solo sufficiente allora potevano esserci altri numeri reali per i quali la matrice poteva essere definita positiva.

Ciao
Mino