Funzione definita per induzione

[Cannone Speciale]

Nel libro general topology di John Kelley c'è un'altra proposizione che non capisco ($omega$ è l'insieme dei numeri interi non negativi):

"It is possible to define a function by induction in the following sense. For each non-negative integer $p$ pet $omega_p = {q : q in omega and q<=p}$. Suppose that we seek a function on $omega$, that the functional value $a$ at $0$ is given, and for each function $g$ on a set $omega_p$ there is given $F(g)$, the value of the desired function at $p+1$. Thus the value desired at $p+1$ may depend on all of the values for smaller integers. In these circumstances it is true that there is a unique function $f$ on $omega$ such that $f(0) = a$ and $f(p+1) = F(f|omega_p)$ for each $p$ in omega. (The function $f|omega_p$ is the function $f$ restricted to the set $omega_p$.) "

Non capisco cos'è $F(g)$ e qual è la funzione da cercare $F$ o $f$?

[otta96]

$F(g)$ è un valore associato a $g$, che indica come va estesa $g$ in $p+1$, la funzione da cercare è $f$.

[Cannone Speciale]

Ah ho capito, io pensavo che il valore di $f$ in $p+1$ dipendesse in qualche modo dai valori $F(g)$ dove $g$ era una qualsiasi funzione su $omega_p$. Secondo me non è scritto molto chiaro...

[otta96]

Ma infatti è così, hai ridetto la stessa cosa.

[Cannone Speciale]

no, io avevo capito che dipendesse da tutti i valori $F(g)$, invece f dipende solo dai valori che f stessa assume nei precedenti $p$. Lo so che non aveva molto senso, però il mio cervello era come bloccato non riuscivo a vedere un'altra interpretazione. Grazie, la parola "estesa" mi ha fatto tornare in mente le funzioni ricorsive e ho capito cosa si intendeva. Questo libro condensa un sacco di informazioni in pochissime righe, sto procedendo molto lentamente. Volevo leggere anche l'appendice per capire cosa sono i numeri ordinali e cardinali, ma usa il calcolo proposizionale che purtroppo ancora non conosco.