Funzione definita a tratti: dire se sommabile
Sia
$f(x)=(1-sin^2x-cos(2x))/(sinx(sqrt(2+cosx)))$
Si chiede se questa funzione è sommabile in $[-pi/2,pi/2]$
Non saprei come svolgere simili calcoli. Io avevo pensato -e provato!- a svolgerla confrontandola con una funzione campione, tenendo presente che questa funzione è definita nell'intervallo, ma non in 0, pi....etc...
Spero possiate aiutarmi, spiegandomi come procedere.
A vostra completa disposizione,
alex
$f(x)=(1-sin^2x-cos(2x))/(sinx(sqrt(2+cosx)))$
Si chiede se questa funzione è sommabile in $[-pi/2,pi/2]$
Non saprei come svolgere simili calcoli. Io avevo pensato -e provato!- a svolgerla confrontandola con una funzione campione, tenendo presente che questa funzione è definita nell'intervallo, ma non in 0, pi....etc...
Spero possiate aiutarmi, spiegandomi come procedere.A vostra completa disposizione,
alex
Risposte
L'unico punto di discontinuità interno all'intervallo $[-pi/2,pi/2]$ è $0$.
Quali sono i "pezzi" che ti danno fastidio al denominatore? Ed al numeratore che succede?
Riesci ad usare i limiti fondamentali per stabilire come si comporta $f$ in $0$, oppure l'ordine di infinito di $|f|$ in $0$?
Rifletti su queste cose e risolverai l'esercizio sfruttando i criteri di sommabilità o altri teoremi simili.
Quali sono i "pezzi" che ti danno fastidio al denominatore? Ed al numeratore che succede?
Riesci ad usare i limiti fondamentali per stabilire come si comporta $f$ in $0$, oppure l'ordine di infinito di $|f|$ in $0$?
Rifletti su queste cose e risolverai l'esercizio sfruttando i criteri di sommabilità o altri teoremi simili.
"Gugo82":
L'unico punto di discontinuità interno all'intervallo $[-pi/2,pi/2]$ è $0$.
Quali sono i "pezzi" che ti danno fastidio al denominatore? Ed al numeratore che succede?
Riesci ad usare i limiti fondamentali per stabilire come si comporta $f$ in $0$, oppure l'ordine di infinito di $|f|$ in $0$?
Rifletti su queste cose e risolverai l'esercizio sfruttando i criteri di sommabilità o altri teoremi simili.
Si, mi trovo d'accordo con te sul fatto che in quell'intervallo l'unico punto di discontinuità sia lo 0. La funzione, semplificando i calcoli, dovrebbe venire:
$(sinx)/(sqrt(2+cosx))$
Per quanto riguarda il limite calcolato per $x->0^+$ dovrebbe essere uguale a 0, così come per x->0-
Però non so davvero come procedere...
Se la funzione può essere prolungata con continuità su $0$ ciò vuol dire che la discontinuità è "finta"; in altre parole la tua funzione è continua a patto di scegliere bene il valore $f(0)$.
Per risolvere l'esercizio basta tenere presente che se $f:[a,b]\setminus \{x_0\} to RR$ è continua a se risulta finito $L=lim_(x\to x_0) f(x)$, allora detto $f^**$ il prolungamento continuo di $f$ a tutto $[a,b]$, ossia:
$f^**(x):=\{ (f(x), ", se " x!= x_0),(L, ", se " x=x_0):} \quad$ ,
la $f$ è integrabile su $[a,b]$ e l'integrale "improprio" $\int_a^b f(x)" d"x$ coincide con l'integrale della funzione continua $f^**$, cioè:
$\int_a^b f(x)" d"x=\int_a^b f^**(x)" d"x \quad$.
Per risolvere l'esercizio basta tenere presente che se $f:[a,b]\setminus \{x_0\} to RR$ è continua a se risulta finito $L=lim_(x\to x_0) f(x)$, allora detto $f^**$ il prolungamento continuo di $f$ a tutto $[a,b]$, ossia:
$f^**(x):=\{ (f(x), ", se " x!= x_0),(L, ", se " x=x_0):} \quad$ ,
la $f$ è integrabile su $[a,b]$ e l'integrale "improprio" $\int_a^b f(x)" d"x$ coincide con l'integrale della funzione continua $f^**$, cioè:
$\int_a^b f(x)" d"x=\int_a^b f^**(x)" d"x \quad$.
$L=lim_(x\to x_0) f(x)$ mi risulta finito e uguale a 0.
Non ho ben capito come svolgere nel mio caso la seconda parte, la coincidenza dell'integrale con l'integrale della funzione continua...
L'integrale della mia funzione dovrebbe valermi $-2sqrt(2+cosx)+c$ per valori diversi da 0 nell'intervallo.
Per x_0=0, il limite è uguale a zero, allora l'integrale dovrebbe essere uguale alla costante 0.
Per quanto riguarda l'integrale definito, questi dovrebbe essere uguale a 0.
Non ho ben capito come svolgere nel mio caso la seconda parte, la coincidenza dell'integrale con l'integrale della funzione continua...
L'integrale della mia funzione dovrebbe valermi $-2sqrt(2+cosx)+c$ per valori diversi da 0 nell'intervallo.
Per x_0=0, il limite è uguale a zero, allora l'integrale dovrebbe essere uguale alla costante 0.
Per quanto riguarda l'integrale definito, questi dovrebbe essere uguale a 0.
Il limite $lim_(x\to 0) (1-sin^2x-cos(2x))/(sinx(sqrt(2+cosx)))$ è finito? Sì.
La funzione $f(x)=(1-sin^2x-cos(2x))/(sinx(sqrt(2+cosx)))$ si può prolungare con continuità su tutto $[-pi/2,pi/2]$? Sì.
Posso applicare ad $f(x)$ il teorema che ho citato prima? Sì.
Quindi il mio integrando è sommabile in $[-pi/2,pi/2]$ ed il suo integrale improprio (che nessuno ti chiede di calcolare...) coincide con quello dell'applicazione continua che si ottiene prolungando $f$ su tutto $[-pi/2,pi/2]$
Non c'è bisogno di fare altro.
La funzione $f(x)=(1-sin^2x-cos(2x))/(sinx(sqrt(2+cosx)))$ si può prolungare con continuità su tutto $[-pi/2,pi/2]$? Sì.
Posso applicare ad $f(x)$ il teorema che ho citato prima? Sì.
Quindi il mio integrando è sommabile in $[-pi/2,pi/2]$ ed il suo integrale improprio (che nessuno ti chiede di calcolare...) coincide con quello dell'applicazione continua che si ottiene prolungando $f$ su tutto $[-pi/2,pi/2]$
Non c'è bisogno di fare altro.
Capito. Grazie Gugo. Una sola cosa: ma qualora fosse stato richiesto di calcolarne l'integrale improprio, come avrei dovuto fare ?
Beh, ad occhio non ci sono primitive elementari, quindi il calcolo o si fa con tecniche di Analisi Complessa (residui e altre cosette così) oppure ci si riconduce a qualche funzione speciale tabulata...
In realtà capita davvero di rado che si assegnino studi di sommabilità in cui è possibile calcolare esplicitamente le primitive dell'integrando, poichè in tal caso lo studio della sommabilità sarebbe pressoché inutile.
***EDIT: Rettifico.
La primitiva elementare c'è, basta semplificare un po' il numeratore.
E l'avevi pure scritto prima in forma semplificata... Vabbè sono distratto oggi.
In questo caso lo studio della sommabilità può esser fatto pure scrivendo esplicitamente quanto valgono $lim_(c\to 0^-) \int_(-pi/2)^c f(x)" d"x$ e $lim_(d\to 0^+) \int_d^(pi/2) f(x)" d"x$ e constatando che entrambi i limiti sono finiti.
In realtà capita davvero di rado che si assegnino studi di sommabilità in cui è possibile calcolare esplicitamente le primitive dell'integrando, poichè in tal caso lo studio della sommabilità sarebbe pressoché inutile.
***EDIT: Rettifico.
La primitiva elementare c'è, basta semplificare un po' il numeratore.
E l'avevi pure scritto prima in forma semplificata... Vabbè sono distratto oggi.
In questo caso lo studio della sommabilità può esser fatto pure scrivendo esplicitamente quanto valgono $lim_(c\to 0^-) \int_(-pi/2)^c f(x)" d"x$ e $lim_(d\to 0^+) \int_d^(pi/2) f(x)" d"x$ e constatando che entrambi i limiti sono finiti.
ah, tutto chiaro Gugo. 
Grazie infinite. Sei stato davvero gentilissimo. Una buona giornata.
Alex
Grazie infinite. Sei stato davvero gentilissimo. Una buona giornata.Alex
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