Funzione definita a tratti
ho la seguente funzione:
f(x) = { x+cosx se x appartiene a Q
{ x + sinx se x appartiene a R\Q
ho da determinare i seguenti punti:
esistenza limite per x -> +oo (pensavo di si dato il grafico)
esistenza limite per x -> 0 ( sempre per grafico no)
se è vero che la restrizione di f all'intervallo [-pi/2,0] ha minimo e massimo assoluti.
un'altra informazione: $arctg(3-((n+2)!)/((n+6)4^(n-2)))$ è monotona?
f(x) = { x+cosx se x appartiene a Q
{ x + sinx se x appartiene a R\Q
ho da determinare i seguenti punti:
esistenza limite per x -> +oo (pensavo di si dato il grafico)
esistenza limite per x -> 0 ( sempre per grafico no)
se è vero che la restrizione di f all'intervallo [-pi/2,0] ha minimo e massimo assoluti.
un'altra informazione: $arctg(3-((n+2)!)/((n+6)4^(n-2)))$ è monotona?
Risposte
esiste $lim_(x->oo)f(x)$ perchè sen e coseno ad $oo$ oscillano sempre tra $-1$ e $1$,ma prendono valori finiti. Quindi $oo+a=oo$
$min{x+ \cos (x), x + \sin (x)} \ge x-1$
E quindi il limite a $+oo$ è $+oo$ per il teorema del carabiniere solitario.
E quindi il limite a $+oo$ è $+oo$ per il teorema del carabiniere solitario.
"Fioravante Patrone":posso chiedervi anche gli altri? vi ringrazio intanto. grazie di cuore. alex
$min{x+ \cos (x), x + \sin (x)} \ge x-1$
E quindi il limite a $+oo$ è $+oo$ per il teorema del carabiniere solitario.
è giusto anche che non esiste lim per x->0, perché comunque scegli un intorno dello zero esistono infiniti punti in cui la funzione è vicina ad 1 ed infiniti punti in cui la funzione ha valore vicino a 0.
in [-pi/2, 0] sia x, sia senx sia cosx sono strettamente crescenti.
-pi/2 è irrazionale, quindi f(-pi/2)=-pi/2-1 (-1=sen(-pi/2)) ed è il minimo assoluto
0 è razionale, quindi f(0)=1 ... (analogamente 0+cos(0)) ed è il massimo assoluto
per la monotonia della serie, tieni presente che l'arcotangente è una funzione strettamente crescente, per cui se è monotòno l'argomento, sarà monotòna anche la serie... a occhio... non mi fido ! fatti qualche conto! ciao.
in [-pi/2, 0] sia x, sia senx sia cosx sono strettamente crescenti.
-pi/2 è irrazionale, quindi f(-pi/2)=-pi/2-1 (-1=sen(-pi/2)) ed è il minimo assoluto
0 è razionale, quindi f(0)=1 ... (analogamente 0+cos(0)) ed è il massimo assoluto
per la monotonia della serie, tieni presente che l'arcotangente è una funzione strettamente crescente, per cui se è monotòno l'argomento, sarà monotòna anche la serie... a occhio... non mi fido ! fatti qualche conto! ciao.
"adaBTTLS":
è giusto anche che non esiste lim per x->0, perché comunque scegli un intorno dello zero esistono infiniti punti in cui la funzione è vicina ad 1 ed infiniti punti in cui la funzione ha valore vicino a 0.
in [-pi/2, 0] sia x, sia senx sia cosx sono strettamente crescenti.
-pi/2 è irrazionale, quindi f(-pi/2)=-pi/2-1 (-1=sen(-pi/2)) ed è il minimo assoluto
0 è razionale, quindi f(0)=1 ... (analogamente 0+cos(0)) ed è il massimo assoluto ( ahah....ho sbagliato)
per la monotonia della serie, tieni presente che l'arcotangente è una funzione strettamente crescente, per cui se è monotòno l'argomento, sarà monotòna anche la serie... a occhio... non mi fido ! fatti qualche conto! ciao.
cmq l'argomento mi viene crescente...
...
arctg(-10^(1000000000000000000000))=? circa -pi/2
arctg(-1)=-pi/4
arctg(0)=0
arctg(+1)=+pi/4
arctg(+99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999)=? circa +pi/2
.........
ti sembra decrescente?
senza utilizzare valori "tanto pittoreschi", usa la calcolatrice scientifica.... ciao.
arctg(-10^(1000000000000000000000))=? circa -pi/2
arctg(-1)=-pi/4
arctg(0)=0
arctg(+1)=+pi/4
arctg(+99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999)=? circa +pi/2
.........
ti sembra decrescente?
senza utilizzare valori "tanto pittoreschi", usa la calcolatrice scientifica.... ciao.
"adaBTTLS":
...
arctg(-10^(1000000000000000000000))=? circa -pi/2
arctg(-1)=-pi/4
arctg(0)=0
arctg(+1)=+pi/4
arctg(+99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999)=? circa +pi/2
.........
ti sembra decrescente?
senza utilizzare valori "tanto pittoreschi", usa la calcolatrice scientifica.... ciao.
ha sbagliato un giorno il mio prof e ha scritto che la funzione era decrescente...caspita....a non fidarmi di quanto studiato....bah...che errore idiota....
Eh, ma tu non ti sei fatto fregare..visto che sapevi (?) questo!
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#236457
Infatti $AAx in RR (arctg)'(x)=1/(1+x^2)>0=>$arcotangente strettamente crescente!
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#236457
Infatti $AAx in RR (arctg)'(x)=1/(1+x^2)>0=>$arcotangente strettamente crescente!
Ma chi ha detto, in questo thread, che la funzione arcotangente è decrescente?? Mi sembra nessuno.
"Fioravante Patrone":
Ma chi ha detto, in questo thread, che la funzione arcotangente è decrescente?? Mi sembra nessuno.
no Fioravante. L'avevo detto io ma ho modificato in quanto ho " scoperto" che il prof ha detto una grande fesseria...vatti a fidare...
"Gaal Dornick":
Eh, ma tu non ti sei fatto fregare..visto che sapevi (?) questo!
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#236457
Infatti $AAx in RR (arctg)'(x)=1/(1+x^2)>0=>$arcotangente strettamente crescente!
sai qual è stato il fatto???l'essermi confuso in sede d'esame...e infatti ho sbagliato...clap clap...a me e al prof...bah...che rabbia.
[quote=adaBTTLS]è giusto anche che non esiste lim per x->0, perché comunque scegli un intorno dello zero esistono infiniti punti in cui la funzione è vicina ad 1 ed infiniti punti in cui la funzione ha valore vicino a 0.
in [-pi/2, 0] sia x, sia senx sia cosx sono strettamente crescenti.
-pi/2 è irrazionale, quindi f(-pi/2)=-pi/2-1 (-1=sen(-pi/2)) ed è il minimo assoluto
0 è razionale, quindi f(0)=1 ... (analogamente 0+cos(0)) ed è il massimo assoluto
[quote] scusatemi il fatto che siano crescenti, strettamente, in tale intervallo è noto. una cosa soltanto: come mai si procede singolarmente ponendo -pi/2 per sinx + x mentre 0 per x+ cosx? questo mi ha fatto sbagliare alla grande.vi ringrazio, alex
in [-pi/2, 0] sia x, sia senx sia cosx sono strettamente crescenti.
-pi/2 è irrazionale, quindi f(-pi/2)=-pi/2-1 (-1=sen(-pi/2)) ed è il minimo assoluto
0 è razionale, quindi f(0)=1 ... (analogamente 0+cos(0)) ed è il massimo assoluto
[quote] scusatemi il fatto che siano crescenti, strettamente, in tale intervallo è noto. una cosa soltanto: come mai si procede singolarmente ponendo -pi/2 per sinx + x mentre 0 per x+ cosx? questo mi ha fatto sbagliare alla grande.vi ringrazio, alex
la funzione è definita in due modi diversi nei razionali e negli irrazionali... quindi per vedere quanto vale f(x) prima ti devi chiedere se x è razionale oppure irrazionale e poi procedi a scrivere l'espressione analitica giusta.
ora non ho sotto-mano il testo, però vedo quello che hai copiato del mio vecchio intervento:
io ho disegnato nel piano cartesiano:
il segmento "y=x" da (-pi/2, -pi/2) a (0, 0); l'arco di sinusoide da (-pi/2, -1) a (0, 0); l'arco di cosinusoide da (-pi/2, 0) a (0, 1).
il minimo di x+senx è dunque in -pi/2, il massimo di x+cosx è in 0... è una "fortuna", perché -pi/2 è irrazionale, mentre 0 è razionale: per questo ci sono il min e il max.... se fossero state invertite le due definizioni della funzione (a tratti) non sarebbero esistiti max e min in tale intervallo.
è chiaro? fatti anche tu il grafico che ti ho scritto, e ricontrolla bene la definizione della funzione, per i razionali e per gli irrazionali... OK? ciao.
ora non ho sotto-mano il testo, però vedo quello che hai copiato del mio vecchio intervento:
io ho disegnato nel piano cartesiano:
il segmento "y=x" da (-pi/2, -pi/2) a (0, 0); l'arco di sinusoide da (-pi/2, -1) a (0, 0); l'arco di cosinusoide da (-pi/2, 0) a (0, 1).
il minimo di x+senx è dunque in -pi/2, il massimo di x+cosx è in 0... è una "fortuna", perché -pi/2 è irrazionale, mentre 0 è razionale: per questo ci sono il min e il max.... se fossero state invertite le due definizioni della funzione (a tratti) non sarebbero esistiti max e min in tale intervallo.
è chiaro? fatti anche tu il grafico che ti ho scritto, e ricontrolla bene la definizione della funzione, per i razionali e per gli irrazionali... OK? ciao.
"adaBTTLS":avevo provato anch'io a fare il grafico nell'esame ma non "ho visto alcunchè". una cosa sola mi chiedo: ma la bastardaggine dei prof è davvero così grande???non ha mai fatto nè spiegato questi esercizi questi argomenti. mi sembra ingiusto che venga a chiederci proprio lui che ha tenuto le lezioni questi argomenti che noi ignoriamo perchè non sappiamo come procedere. sono sconvolto e un pò arrabbiato. ce l'ho messa tutta per recuperare tutto quanto, ero riuscito a svolgere esercizi suoi in maniera corretta, seguito i vostri consigli....è più uno sfogo che altro ma davvero....sono cose che effettivamente dovrebbero venirsi a sapere anche dal liceo, sono probabilmente le basi che ognuno di noi dovrebbe avere. ma dipende dall'insegnante che abbiamo avuto...io avevo tracciato il segmento nell'intervallo da te considerato, avevo disegnato gli archi eppure non avevo capito come procedere. ...tuttavia....sono idiota. ti ringrazio ada. grazie di cuore. alex
la funzione è definita in due modi diversi nei razionali e negli irrazionali... quindi per vedere quanto vale f(x) prima ti devi chiedere se x è razionale oppure irrazionale e poi procedi a scrivere l'espressione analitica giusta.
ora non ho sotto-mano il testo, però vedo quello che hai copiato del mio vecchio intervento:
io ho disegnato nel piano cartesiano:
il segmento "y=x" da (-pi/2, -pi/2) a (0, 0); l'arco di sinusoide da (-pi/2, -1) a (0, 0); l'arco di cosinusoide da (-pi/2, 0) a (0, 1).
il minimo di x+senx è dunque in -pi/2, il massimo di x+cosx è in 0... è una "fortuna", perché -pi/2 è irrazionale, mentre 0 è razionale: per questo ci sono il min e il max.... se fossero state invertite le due definizioni della funzione (a tratti) non sarebbero esistiti max e min in tale intervallo.
è chiaro? fatti anche tu il grafico che ti ho scritto, e ricontrolla bene la definizione della funzione, per i razionali e per gli irrazionali... OK? ciao.
p.s. avresti modo ada di farmi vedere il grafico? a me continua a non risultare.....sono anche ottuso...scusami il disturbo, alex
io sono un disastro nell'uso degli strumenti dei grafici... comunque non l'avevo fatto il grafico completo: ti serve solo sapere che x+senx e x+cosx sono strettamente crescenti in quell'intervallo (le devi per forza di cose considerare separatamente, "sovrapposte", perché è impossibile distinguere le immagini dei razionali dalle immagini degli irrazionali, intendo come punti singoli), e poi, sempre in quell'intervallo, senx < cosx, anzi, $senx_1<=cosx_2, AAx_1, x_2 in [-pi/2, 0]$, quindi se c'è un minimo è il primo valore della funzione che contiene senx, se c'è un massimo, è l'ultimo valore della funzione che contiene cosx.
ciao.
ciao.
"adaBTTLS":
io sono un disastro nell'uso degli strumenti dei grafici... comunque non l'avevo fatto il grafico completo: ti serve solo sapere che x+senx e x+cosx sono strettamente crescenti in quell'intervallo (le devi per forza di cose considerare separatamente, "sovrapposte", perché è impossibile distinguere le immagini dei razionali dalle immagini degli irrazionali, intendo come punti singoli), e poi, sempre in quell'intervallo, senx < cosx, anzi, $senx_1<=cosx_2, AAx_1, x_2 in [-pi/2, 0]$, quindi se c'è un minimo è il primo valore della funzione che contiene senx, se c'è un massimo, è l'ultimo valore della funzione che contiene cosx.
ciao.
ah, ok ada. ti ringrazio. credo d aver capito finalmente. ciao, alex
Provo a proporre una questione, poi vi do anche un link di un sito dove si possono disegnare (gratuitamente) funzioni (o meglio, è il programma che le disegna, non certo l'utente).
Se l'intervallo in cui valutare la presenza di massimi e minimi assoluti fosse $I_1=[-1,0]$, e poi $I_2=[-1,pi/2]$, e poi ancora $I_3=[-pi/2,pi/2]$, cosa succede?
Per $I_1$, stavolta $-1 inQQ$, di conseguenza $f(-1)=-1+cos(-1)$, ma esistono infiniti $epsilon>0$ per cui $-1+epsilon in R-Q$, e qua la funzione vale "circa" $-1+sin(-1)<-1+cos(-1)$, di conseguenza il minimo non è $f(-1)$, e il punto di minimo non è $-1$. Ma allora cosa si può dire del punto di minimo, (e del minimo)? E' una domanda che faccio agli esperti.
Inoltre, la funzione in esame non è continua in $-1$, giusto? Infatti posso trovare $x_n=-1+pi/n$ e $y_n=-1+1/n$, due successioni entrambe tendenti a $x_0=-1$, ma tali che $lim_{n->+oo)f(x_n)=-1+sin(-1)$ $<$ (e in particolare $!=$)$-1+cos(-1)=lim_{n->+oo}f(y_n)$, (in quanto $x_n in RR-QQ AAninNN$ e $y_n in RR AA ninNN$),e quindi la funzione non è continua in $x_0$.
In questi casi è corretto dire che la funzione non ha minimo (quindi neanche punto di minimo), ma solamente estremo inferiore, $-1+sin(-1)?$. Per il massimo invece non c'è problema, poichè $0inQQ=>f(0)=1$, e la funzione $x+sinx$ sta sempre sotto a $x+cosx$ in $I_1$, di conseguenza esiste il massimo assoluto, $1$, assunto nel punto $x=0$.
A voi discutere i casi con $I_2$ e $I_3$ (ricordando che per $pi/4cosx$),e soprattutto vorrei che mi si spiegasse cosa di rigoroso si può dire in questi casi, dato che la mia analisi è molto "contadina".
grazie
p.s. ah dimenticavo il link: http://www.mathe-fa.de/it#anchor
Se l'intervallo in cui valutare la presenza di massimi e minimi assoluti fosse $I_1=[-1,0]$, e poi $I_2=[-1,pi/2]$, e poi ancora $I_3=[-pi/2,pi/2]$, cosa succede?
Per $I_1$, stavolta $-1 inQQ$, di conseguenza $f(-1)=-1+cos(-1)$, ma esistono infiniti $epsilon>0$ per cui $-1+epsilon in R-Q$, e qua la funzione vale "circa" $-1+sin(-1)<-1+cos(-1)$, di conseguenza il minimo non è $f(-1)$, e il punto di minimo non è $-1$. Ma allora cosa si può dire del punto di minimo, (e del minimo)? E' una domanda che faccio agli esperti.
Inoltre, la funzione in esame non è continua in $-1$, giusto? Infatti posso trovare $x_n=-1+pi/n$ e $y_n=-1+1/n$, due successioni entrambe tendenti a $x_0=-1$, ma tali che $lim_{n->+oo)f(x_n)=-1+sin(-1)$ $<$ (e in particolare $!=$)$-1+cos(-1)=lim_{n->+oo}f(y_n)$, (in quanto $x_n in RR-QQ AAninNN$ e $y_n in RR AA ninNN$),e quindi la funzione non è continua in $x_0$.
In questi casi è corretto dire che la funzione non ha minimo (quindi neanche punto di minimo), ma solamente estremo inferiore, $-1+sin(-1)?$. Per il massimo invece non c'è problema, poichè $0inQQ=>f(0)=1$, e la funzione $x+sinx$ sta sempre sotto a $x+cosx$ in $I_1$, di conseguenza esiste il massimo assoluto, $1$, assunto nel punto $x=0$.
A voi discutere i casi con $I_2$ e $I_3$ (ricordando che per $pi/4
grazie
p.s. ah dimenticavo il link: http://www.mathe-fa.de/it#anchor
Una questione terminologica, dapprima.
Il post che da orignine al thead è intitolato "funzione definita a tratti".
Ma di solito quando si parla di funzioni definite a tratti, ci si riferisce ai tratti come intervalli, non come punti sparpagliati qua e là.
Mi autonomino esperto. Non vedo il problema. Una funzione non è obbligata ad avere minimo. Quindi si dirà semplicemente che non ha minimo (e quindi neanche punti di minimo, che sono la controimmagine del minimo, se esiste).
NB: mi sono espresso in termini di minimo globale [= assoluto], ma ovviamente discorsi simili valgono anche per i minimi locali [= relativi].
Giusto. Applicazione standard del teorema di caratterizzazione della continuità mediante successioni.
Beh, c'è l'assioma di continuità, che in una delle sue mille versioni dice che ogni sottoinsieme di $RR$ non vuoto ed inferiormente limitato ha estremo inferiore.
Basta applicarlo alla immagine della funzione data (che è un insieme non vuoto e inferiormente limitato).
Già che ci sono, osservo che il minimo di una funzione $f$ a valori reali non è altro che il minimo della immagine di $f$. [$RR$ è un insieme ordinato e quindi ogni suo sottoinsieme lo è e quindi basta applicare la definizione di minimo per un insieme ordinato]
Il post che da orignine al thead è intitolato "funzione definita a tratti".
Ma di solito quando si parla di funzioni definite a tratti, ci si riferisce ai tratti come intervalli, non come punti sparpagliati qua e là.
"alvinlee88":
Provo a proporre una questione, poi vi do anche un link di un sito dove si possono disegnare (gratuitamente) funzioni (o meglio, è il programma che le disegna, non certo l'utente).
Se l'intervallo in cui valutare la presenza di massimi e minimi assoluti fosse $I_1=[-1,0]$, e poi $I_2=[-1,pi/2]$, e poi ancora $I_3=[-pi/2,pi/2]$, cosa succede?
Per $I_1$, stavolta $-1 inQQ$, di conseguenza $f(-1)=-1+cos(-1)$, ma esistono infiniti $epsilon>0$ per cui $-1+epsilon in R-Q$, e qua la funzione vale "circa" $-1+sin(-1)<-1+cos(-1)$, di conseguenza il minimo non è $f(-1)$, e il punto di minimo non è $-1$. Ma allora cosa si può dire del punto di minimo, (e del minimo)? E' una domanda che faccio agli esperti.
Mi autonomino esperto. Non vedo il problema. Una funzione non è obbligata ad avere minimo. Quindi si dirà semplicemente che non ha minimo (e quindi neanche punti di minimo, che sono la controimmagine del minimo, se esiste).
NB: mi sono espresso in termini di minimo globale [= assoluto], ma ovviamente discorsi simili valgono anche per i minimi locali [= relativi].
"alvinlee88":
Inoltre, la funzione in esame non è continua in $-1$, giusto? Infatti posso trovare $x_n=-1+pi/n$ e $y_n=-1+1/n$, due successioni entrambe tendenti a $x_0=-1$, ma tali che $lim_{n->+oo)f(x_n)=-1+sin(-1)$ $<$ (e in particolare $!=$)$-1+cos(-1)=lim_{n->+oo}f(y_n)$, (in quanto $x_n in RR-QQ AAninNN$ e $y_n in RR AA ninNN$),e quindi la funzione non è continua in $x_0$.
Giusto. Applicazione standard del teorema di caratterizzazione della continuità mediante successioni.
"alvinlee88":
In questi casi è corretto dire che la funzione non ha minimo (quindi neanche punto di minimo), ma solamente estremo inferiore, $-1+sin(-1)?$. Per il massimo invece non c'è problema, poichè $0inQQ=>f(0)=1$, e la funzione $x+sinx$ sta sempre sotto a $x+cosx$ in $I_1$, di conseguenza esiste il massimo assoluto, $1$, assunto nel punto $x=0$.
Beh, c'è l'assioma di continuità, che in una delle sue mille versioni dice che ogni sottoinsieme di $RR$ non vuoto ed inferiormente limitato ha estremo inferiore.
Basta applicarlo alla immagine della funzione data (che è un insieme non vuoto e inferiormente limitato).
Già che ci sono, osservo che il minimo di una funzione $f$ a valori reali non è altro che il minimo della immagine di $f$. [$RR$ è un insieme ordinato e quindi ogni suo sottoinsieme lo è e quindi basta applicare la definizione di minimo per un insieme ordinato]
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