Funzione decrescente passante per un punto e con due asintoti orizzontali
Sto facendo fatica a capire come trovare una funzione per questo esercizio:
Trova un esempio di una funzione g:R \( \rightarrow \) R decrescente, con g(0)=1, \( lim_{x\rightarrow +\infty } \) g(x)=0 e \( lim_{x\rightarrow -\infty } \) g(x)=3.
Guardando i grafici di funzioni note ho notato che la f(x)=arcctg x è in effetti decrescente ed ha due asintoti orizzontali.
Però faccio fatica ad impostarla con le condizioni che mi vengono date.
Trova un esempio di una funzione g:R \( \rightarrow \) R decrescente, con g(0)=1, \( lim_{x\rightarrow +\infty } \) g(x)=0 e \( lim_{x\rightarrow -\infty } \) g(x)=3.
Guardando i grafici di funzioni note ho notato che la f(x)=arcctg x è in effetti decrescente ed ha due asintoti orizzontali.
Però faccio fatica ad impostarla con le condizioni che mi vengono date.
Risposte
Ciao andrea14,
Se può essere una funzione definita per casi proporrei la seguente:
$g(x) := {(e^{- x} text{ se } x \ge 0),(3 - e^x text{ se } x < 0):} $
Se può essere una funzione definita per casi proporrei la seguente:
$g(x) := {(e^{- x} text{ se } x \ge 0),(3 - e^x text{ se } x < 0):} $
ok,non vi sono altre alternative?
Certo che ve ne sono, quella che ti ho proposto è la più semplice che mi è venuta in mente... Prova tu a trovarne qualcuna.
Un'altra potrebbe essere ad esempio la seguente:
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 - a r c c o t (x) \text{ se } x < 0):} $
Un'altra potrebbe essere ad esempio la seguente:
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 - a r c c o t (x) \text{ se } x < 0):} $
Scusami mi sono spiegato male,intendevo se esiste la possibilità di una funzione ma non definita per casi ma nella forma classica f(x)=...
Ma cosa cambia? Una funzione definita per casi è una rispettabilissima funzione.
"andrea14":
... se esiste la possibilità di una funzione non definita per casi ...
Se proprio insisti:
$f(x)=-3/\pitg^(-1)(x+sqrt3/3)+3/2$
la funzione che hai proposto (arcotangente) è crescente, quindi devi considerare la sua opposta $-arctanx$, poi l'intervallo tra i due asintoti orizzontali nell'arcotangente è $pi$, mentre per l'esercizio serve che sia 3, quindi la funzione deve essere $-3/pi arctanx$, per far quadrare i due limiti a $oo$ serve aggiungere la costante $3/2$, infine serve una traslazione su $x$ in modo che $g(0)=1$, cioè che quando $x$ vale 0, l'arcotangente valga $pi/6$, ecco ricostruita la funzione proposta da Sergeant Elias.
grazie mille a tutti!
"anonymous_0b37e9":
[quote="andrea14"]
... se esiste la possibilità di una funzione non definita per casi ...
Se proprio insisti:
$f(x)=-3/\pitg^(-1)(x+sqrt3/3)+3/2$
[/quote]questa posso considerarla una funzione sinusoidale?
"@melia":
la funzione che hai proposto (arcotangente) è crescente, quindi devi considerare la sua opposta $-arctanx$, poi l'intervallo tra i due asintoti orizzontali nell'arcotangente è $pi$, mentre per l'esercizio serve che sia 3, quindi la funzione deve essere $-3/pi arctanx$, per far quadrare i due limiti a $oo$ serve aggiungere la costante $3/2$, infine serve una traslazione su $x$ in modo che $g(0)=1$, cioè che quando $x$ vale 0, l'arcotangente valga $pi/6$, ecco ricostruita la funzione proposta da Sergeant Elias.
$-3/2$ mi corrisponde al $yo$ della funzione sinusoidale?ovvero il valore medio,quindi tra 3 e 0 sarà $3/2$.
non capisco il perche del $pi/6$,come lo trovo?
Beh, per $x = 0 $ il valore dell'arcotangente deve essere un numero che moltiplicato per $-3/\pi $ dia $-1/2 $ in modo che sommato a $ 3/2 $ fornisca il richiesto valore di $g(0) = 1 $
Tale numero è proprio $\pi/ 6 $
Dato poi che $ tan(pi/6) = sqrt{3}/3 $ ecco spiegato perché occorre aggiungere $ sqrt{3}/3 $ all'argomento $x$ dell'arcotangente.
Tale numero è proprio $\pi/ 6 $
Dato poi che $ tan(pi/6) = sqrt{3}/3 $ ecco spiegato perché occorre aggiungere $ sqrt{3}/3 $ all'argomento $x$ dell'arcotangente.
"pilloeffe":
Ciao andrea14,
Se può essere una funzione definita per casi proporrei la seguente:
$g(x) := {(e^{- x} text{ se } x \ge 0),(3 - e^x text{ se } x < 0):} $
Questa funzione è discontinua giusto?
Comunque rispetta quello che mi chiede giusto? ovvero g:R \( \rightarrow \) R decrescente, con g(0)=1, \( lim_{x\rightarrow +\infty } \) g(x)=0 e \( lim_{x\rightarrow -\infty } \) g(x)=3.
"pilloeffe":
Certo che ve ne sono, quella che ti ho proposto è la più semplice che mi è venuta in mente... Prova tu a trovarne qualcuna.
Un'altra potrebbe essere ad esempio la seguente:
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 - a r c c o t (x) \text{ se } x < 0):} $
ho provato a fare il grafico di questa e non rispetta le condizioni date,sbaglio?
Ho un altro esercizio da svolgere dove cambiano soltanto i dati:
Trova un esempio di una funzione h:R \( \rightarrow \) R decrescente, con g(0)=3, \( lim_{x\rightarrow +\infty } \) h(x)=1 e \( lim_{x\rightarrow -\infty } \) h(x)=6.
Ho provato a seguire i vostro esempi ma non riesco a trovare una funzione per queste condizioni.
Avevo pensato a utilizzare quella dell' $tg^-1$ sostituendo i valori ma non riesco a farla tornare.
E la funzione definita per casi non riesco ad adattarla per questo esercizio.
Trova un esempio di una funzione h:R \( \rightarrow \) R decrescente, con g(0)=3, \( lim_{x\rightarrow +\infty } \) h(x)=1 e \( lim_{x\rightarrow -\infty } \) h(x)=6.
Ho provato a seguire i vostro esempi ma non riesco a trovare una funzione per queste condizioni.
Avevo pensato a utilizzare quella dell' $tg^-1$ sostituendo i valori ma non riesco a farla tornare.
$f(x)=-6/\pitg^(-1)(x+(-2+sqrt3))+5/2$
E la funzione definita per casi non riesco ad adattarla per questo esercizio.
"andrea14":
ho provato a fare il grafico di questa e non rispetta le condizioni date,sbaglio?
No, hai ragione, ho sbagliato io: dov'è l'errore ? Prova a correggere la parte per $x < 0 $ in modo che rispetti le condizioni date...
"andrea14":
Ho provato a seguire i vostro esempi ma non riesco a trovare una funzione per queste condizioni.
Non capisco dove sia il problema:
$ h(x) := {(1 + 2e^{- x} text{ se } x \ge 0),(6 - e^x text{ se } x < 0):} $
o altrimenti
$ h(x) := - 5/\pi arctan(x + sqrt{1 - 2/sqrt{5}}) + 7/2 $
grazie mille!
basta mettere un meno alla x per ribaltarla rispetto all' asse x giusto?
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 - a r c c o t (-x) \text{ se } x < 0):} $
basta mettere un meno alla x per ribaltarla rispetto all' asse x giusto?
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 - a r c c o t (-x) \text{ se } x < 0):} $
"andrea14":
grazie mille!
Prego!
"andrea14":
basta mettere un meno alla x per ribaltarla rispetto all' asse x giusto?
Sì, ma più semplicemente:
$ g(x) := {(frac{2}{\pi} \cdot a r c c o t (x) \text{ se } x \ge 0),(3 + a r c c o t (x) \text{ se } x < 0):} $
ma con quest ultima che dici te il limite che tende a meno infinito non fa 3 ma 6.
mentre se metto il meno davanti alla x cioè (-x) il limite che tende a meno infinito è 3.
mentre se metto il meno davanti alla x cioè (-x) il limite che tende a meno infinito è 3.
"andrea14":
ma con quest ultima che dici te il limite che tende a meno infinito non fa 3 ma 6.
No, risulta sempre $3 $
"andrea14":
mentre se metto il meno davanti alla x cioè (-x) il limite che tende a meno infinito è 3.
E' la stessa cosa, d'altronde $ a r c c o t(- x) = - a r c c o t(x) $
ho capito,ma utlizzando l applicazione grapher vedo che se inserisco $3-arccot(-x)$ allora per x che tende a meno infinito mi fara 3,altrimenti quella come hai detto tu mi fa 6.non so perche
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo