Funzione dalle funzioni a supporto compatto
ciao!
ecco a voi una domanda.
[modifico il testo, c'era un errore nel libro direi]
provare che esiste una funzione [tex]C^{\infty}[/tex] a supporto compatto [tex]\phi :\mathbb R ^n \to \mathbb R[/tex], che dipende solo da [tex]|x|[/tex], tale che
[tex]\displaystyle \int [\phi '(y)]^T \phi '(y)\ \mathrm dy = \mathrm{id}[/tex]
per quanto mi riguarda ho problemi cronici con le derivate, e fatico a ragionarci su.
però prima di postare di più vorrei sentire le vostre idee e soluzioni
ciaociao!
ecco a voi una domanda.
[modifico il testo, c'era un errore nel libro direi]
provare che esiste una funzione [tex]C^{\infty}[/tex] a supporto compatto [tex]\phi :\mathbb R ^n \to \mathbb R[/tex], che dipende solo da [tex]|x|[/tex], tale che
[tex]\displaystyle \int [\phi '(y)]^T \phi '(y)\ \mathrm dy = \mathrm{id}[/tex]
per quanto mi riguarda ho problemi cronici con le derivate, e fatico a ragionarci su.
però prima di postare di più vorrei sentire le vostre idee e soluzioni
ciaociao!
Risposte
Sinceramente si capisce poco del testo del problema.
Per una funzione di più variabili il simbolo [tex]$\phi^\prime$[/tex] non ha molto significato, né ne ha l'integrale indefinito; d'altra parte non si capisce nemmeno cosa sia [tex]$\text{id}$[/tex] a secondo membro...
Quindi, se vuoi qualche risposta, o scrivi qualcosa in più o ci fornisci la fonte del problema (cfr. questo avviso).
Per una funzione di più variabili il simbolo [tex]$\phi^\prime$[/tex] non ha molto significato, né ne ha l'integrale indefinito; d'altra parte non si capisce nemmeno cosa sia [tex]$\text{id}$[/tex] a secondo membro...
Quindi, se vuoi qualche risposta, o scrivi qualcosa in più o ci fornisci la fonte del problema (cfr. questo avviso).
la fonte è un libro sugli operatori pseudo-differenziali, ma non penso che il problema abbia a che fare con quei brutti ceffi
comunque provo a risponderti (sappi che non parli in nessun modo con un esperto, potrei dire eresie)
la mia $\phi$ non è una funzione in più variabili, è un elemento del duale di uno spazio di funzioni in più variabili.
di conseguenza anche $\phi'(y)$ (con y in $C_0^{\infty}$) è nello stesso duale.
quindi per come la annuso io è un vettorone riga infinito, che moltiplicato per il suo trasposto diventa un matricione infinito.
l'integrazione mi perplime, lo ammetto. y è in $C_0^{\infty}$, ma ci posso integrare sopra? boh.
che ne pensi/pensate?
comunque provo a risponderti (sappi che non parli in nessun modo con un esperto, potrei dire eresie)
la mia $\phi$ non è una funzione in più variabili, è un elemento del duale di uno spazio di funzioni in più variabili.
di conseguenza anche $\phi'(y)$ (con y in $C_0^{\infty}$) è nello stesso duale.
quindi per come la annuso io è un vettorone riga infinito, che moltiplicato per il suo trasposto diventa un matricione infinito.
l'integrazione mi perplime, lo ammetto. y è in $C_0^{\infty}$, ma ci posso integrare sopra? boh.
che ne pensi/pensate?
Effettivamente, avevo capito male... Allora diamo per buono che [tex]$\phi$[/tex] è un funzionale su [tex]$C_0^\infty (\mathbb{R}^N)$[/tex].
Ma che [tex]$\phi$[/tex] sia nel duale non sta scritto da nessuna parte nel testo (infatti non hai riportato che [tex]$\phi$[/tex] è lineare e continuo). E che senso ha dire che [tex]$\phi$[/tex] dipende da [tex]$|x|$[/tex]? Soprattutto, chi è [tex]$x$[/tex] (visto che [tex]$y$[/tex] è una funzione, mi immagino che lo possa essere anche [tex]$x$[/tex]...)?
Poi scrivi [tex]$\phi^\prime$[/tex], che si dovrebbe allora interpretare come derivata di [tex]$\phi$[/tex]: ma che tipo di derivata? Infatti la derivata di Fréchet è lineare, mentre quella di Gâteaux potrebbe non essere lineare.
Che significa l'apice [tex]$\phantom{\phi}^T$[/tex]? Avessimo a che fare con roba finito dimensionale (vettori o matrici, insomma) sarebbe il trasposto, ma in contesto infinitodimensionale come lo devo interpretare? Come operatore aggiunto? E se [tex]$\phi^\prime$[/tex] non è lineare?
Ed infine, l'integrale... Che integrale è?
Ti ripeto, chiarisci questi aspetti altrimenti non abbiamo nessuna possibilità di muoverci.
O almeno dacci un riferimento preciso al libro che hai davanti.
Ma che [tex]$\phi$[/tex] sia nel duale non sta scritto da nessuna parte nel testo (infatti non hai riportato che [tex]$\phi$[/tex] è lineare e continuo). E che senso ha dire che [tex]$\phi$[/tex] dipende da [tex]$|x|$[/tex]? Soprattutto, chi è [tex]$x$[/tex] (visto che [tex]$y$[/tex] è una funzione, mi immagino che lo possa essere anche [tex]$x$[/tex]...)?
Poi scrivi [tex]$\phi^\prime$[/tex], che si dovrebbe allora interpretare come derivata di [tex]$\phi$[/tex]: ma che tipo di derivata? Infatti la derivata di Fréchet è lineare, mentre quella di Gâteaux potrebbe non essere lineare.
Che significa l'apice [tex]$\phantom{\phi}^T$[/tex]? Avessimo a che fare con roba finito dimensionale (vettori o matrici, insomma) sarebbe il trasposto, ma in contesto infinitodimensionale come lo devo interpretare? Come operatore aggiunto? E se [tex]$\phi^\prime$[/tex] non è lineare?
Ed infine, l'integrale... Che integrale è?
Ti ripeto, chiarisci questi aspetti altrimenti non abbiamo nessuna possibilità di muoverci.
O almeno dacci un riferimento preciso al libro che hai davanti.
Ok ho postato solo il problema copiato paro paro dal libro, ma evidentemente ci sono dei problemi a monte.
e anche la notazione è copiata dal libro.
io l'ho interpretata così.. $\phi$ è un funzionale che dipende solo dalla norma degli elementi in $C_0^{\infty}$
non conosco la differenza fra derivata di fréchet e di gateaux.
la derivata che ho in testa io:
$F : E \rightarrow F$ (sono spazi vett topologici reali) è una funzione $C^1$ se esiste $F' : E \times E \rightarrow F$ tale che
per ogni $v,w \in E$, si abbia $\lim_{t \to 0} \frac{F(v-tw)-F(v)}{t} = F'(v,w)$
ovviamente $F'$ deve essere anche continua e lineare nella seconda variabile. e poi la notazione usata non sarebbe $F'(v,w)$ ma $F'(v)w$.
vabbè.
quale delle due è? o è un mix? o è sbagliata?
la parola duale è un errore mio, sorry. solo $\phi'(y)$ è nel duale (sempre se la nostra derivata è lineare, ma diciamo lo sia), non $\phi$.
la $T$ in realtà nel testo è una $t$ e sta a sinistra, non so questo cambio di notazione possa aver compromesso il tutto
per l'integrale.. mah direi che prima bisogna esser certi di cosa si sta integrando
il libro è questo: http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=gsm-82
nell'ultima edizione il testo dell'esercizio è cambiato, e chiede che $\phi$ NON dipenda da $|x|$.. ma forse è solo un errore di traduzione dal francese
e anche la notazione è copiata dal libro.
io l'ho interpretata così.. $\phi$ è un funzionale che dipende solo dalla norma degli elementi in $C_0^{\infty}$
non conosco la differenza fra derivata di fréchet e di gateaux.
la derivata che ho in testa io:
$F : E \rightarrow F$ (sono spazi vett topologici reali) è una funzione $C^1$ se esiste $F' : E \times E \rightarrow F$ tale che
per ogni $v,w \in E$, si abbia $\lim_{t \to 0} \frac{F(v-tw)-F(v)}{t} = F'(v,w)$
ovviamente $F'$ deve essere anche continua e lineare nella seconda variabile. e poi la notazione usata non sarebbe $F'(v,w)$ ma $F'(v)w$.
vabbè.
quale delle due è? o è un mix? o è sbagliata?
la parola duale è un errore mio, sorry. solo $\phi'(y)$ è nel duale (sempre se la nostra derivata è lineare, ma diciamo lo sia), non $\phi$.
la $T$ in realtà nel testo è una $t$ e sta a sinistra, non so questo cambio di notazione possa aver compromesso il tutto
per l'integrale.. mah direi che prima bisogna esser certi di cosa si sta integrando
il libro è questo: http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=gsm-82
nell'ultima edizione il testo dell'esercizio è cambiato, e chiede che $\phi$ NON dipenda da $|x|$.. ma forse è solo un errore di traduzione dal francese
ok oggi ci ho ripensato. in realtà $\phi$ è semplicemente una funzione $C^{\infty}$ a supporto compatto da $\mathbb R^n$ in $\mathbb R$.
così il problema ha senso, ed ha senso anche nella logica del libro
così il problema ha senso, ed ha senso anche nella logica del libro
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