Funzione da $RR^2$ in $RR$
Sto studiando la funzione da $RR^2$ in $RR$ così definita:
$f(x,y)=x^4+y^2-x^2y^2$
Al solito, ho calcolato il gradiente per trovare i punti critici. Tra gli altri, trovo $(0,0)^T$: non riesco a stabilire se è di massimo/minimo/sella poichè il test delle derivate seconde non funziona.
Dopo aver studiato varie restrizioni, congetturo che sia di minimo. Devo usare allora la definizione, cioè $f(x,y)>0$ per un intorno di $(0,0)^T$. Come procedo adesso?
Attendo con ansia il vostro responso
$f(x,y)=x^4+y^2-x^2y^2$
Al solito, ho calcolato il gradiente per trovare i punti critici. Tra gli altri, trovo $(0,0)^T$: non riesco a stabilire se è di massimo/minimo/sella poichè il test delle derivate seconde non funziona.
Dopo aver studiato varie restrizioni, congetturo che sia di minimo. Devo usare allora la definizione, cioè $f(x,y)>0$ per un intorno di $(0,0)^T$. Come procedo adesso?
Attendo con ansia il vostro responso


Risposte
wow forse la so:
in un intorno di $(0,0)^T$ si ha:
$y^4
perciò
$x^4 + y^2 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 >= 0$
dove in realtà l'"uguale" a 0 si ha solo quando $(x,y)=(0,0)$
in un intorno di $(0,0)^T$ si ha:
$y^4
$x^4 + y^2 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 >= 0$
dove in realtà l'"uguale" a 0 si ha solo quando $(x,y)=(0,0)$
"e^iteta":
wow forse la so:
in un intorno di $(0,0)^T$ si ha:
$y^4perciò
$x^4 + y^2 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 >= 0$
dove in realtà l'"uguale" a 0 si ha solo quando $(x,y)=(0,0)$
Prendo spunto da $e^(i*theta)$ (:-D)...
Supponiamo $(x,y) in B(O;1)$ (uso $O=(0,0)$ perchè non so scrivere zero-col-trattino-sotto) ed $x!=0$.
Se $y!=0$ allora vale la disuguaglianza stretta tra i membri estremi della catena, quindi $f(x,y)>0$; d'altra parte, se $y=0$ hai $f(x,0)=x^4>0$, visto che $x$ è non nullo per ipotesi.
Ne consegue che in $B(O;1)$ si ha $f(x,y)=0$ solo per $(x,y)=O$, mentre negli altri punti è $f(x,y)>0$.
Grazie per l'aiuto, ora mi è chiaro
