Funzione da $RR^2$ in $RR$

[Sk_Anonymous]

Sto studiando la funzione da $RR^2$ in $RR$ così definita:

$f(x,y)=x^4+y^2-x^2y^2$

Al solito, ho calcolato il gradiente per trovare i punti critici. Tra gli altri, trovo $(0,0)^T$: non riesco a stabilire se è di massimo/minimo/sella poichè il test delle derivate seconde non funziona.
Dopo aver studiato varie restrizioni, congetturo che sia di minimo. Devo usare allora la definizione, cioè $f(x,y)>0$ per un intorno di $(0,0)^T$. Come procedo adesso?
Attendo con ansia il vostro responso

[e^iteta]

wow forse la so:
in un intorno di $(0,0)^T$ si ha:
$y^4 perciò
$x^4 + y^2 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 >= 0$

dove in realtà l'"uguale" a 0 si ha solo quando $(x,y)=(0,0)$

[gugo82]

"e^iteta":wow forse la so:
in un intorno di $(0,0)^T$ si ha:
$y^4 perciò
$x^4 + y^2 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - x^2y^2 >= x^4 + y^4 - 2x^2y^2 = (x^2-y^2)^2 >= 0$

dove in realtà l'"uguale" a 0 si ha solo quando $(x,y)=(0,0)$

Prendo spunto da $e^(i*theta)$ (:-D)...
Supponiamo $(x,y) in B(O;1)$ (uso $O=(0,0)$ perchè non so scrivere zero-col-trattino-sotto) ed $x!=0$.
Se $y!=0$ allora vale la disuguaglianza stretta tra i membri estremi della catena, quindi $f(x,y)>0$; d'altra parte, se $y=0$ hai $f(x,0)=x^4>0$, visto che $x$ è non nullo per ipotesi.
Ne consegue che in $B(O;1)$ si ha $f(x,y)=0$ solo per $(x,y)=O$, mentre negli altri punti è $f(x,y)>0$.

[Sk_Anonymous]

Grazie per l'aiuto, ora mi è chiaro