Funzione crescente senza calcolare la derivata?

[rosannacir]

Ciao a tutti,
data una funzione $f(x)$ come fare a stabilire se si tratta di una funzione crescente senza calcolare la derivata? Procedo ad intuito osservando da quali funzioni semplici $f(x)$ è composta? Mi spiego meglio: considero le seguenti funzioni:
§ $f(x)=\sqrt{1+ | x |}$ il ragionamento che faccio è: $f(x)$ è una funzione composta da:
- una funzione radice ad esponente pari che è sempre strettamente crescente;
- un radicando che possiede una funzione con valore assoluto, la quale è sempre strettamente crescente.
Di conseguenza: $f(x)$ è una funzione strettamente crescente;

§ $g(x)=\sqrt{1+ | x |}-\sqrt{x}$ il ragionamento che faccio è: $g(x)$ è una funzione composta da:
- una funzione radice ad esponente pari che è sempre strettamente crescente;
- un radicando che possiede una funzione con valore assoluto, la quale è sempre strettamente crescente;
- una funzione radice ad esponente pari che è sempre strettamente crescente;

Di conseguenza: $g(x)$ è una funzione strettamente decrescente perchè è data dalla differenza di due funzioni strettamente crescenti.
Boo...sinceramente di quest'ultimo mi verrebbe da pensare che il ragionamento è completamente sbagliato. Forse dovrei ragionare alla velocità con cui crescono...bo.
Come motivare con parole adeguate le risposte?
Help!!

[Camillo]

$y=|x| $ non è funzione crescente, o meglio lo è per $x>0 $....mentre per $x<0 $ è decrescente.

[Gi81]

Se vuoi verificare che una funzione è crescente senza usare la funzione derivata, puoi sfruttare la definizione di funzione crescente:

$f:A->B$, con $A, B sube RR$. $f$ è monotona crescente in $A$ se $AA x_1,x_2 in A$, con $x_1
Come ha detto Camillo, $f(x)=sqrt(1+|x|)$ non è crescente in $A=RR$,
perchè, posti $x_1=-3$, $x_2=0$, si ha che $x_11=f(x_2)$
La funzione è crescente in $A=[0,+oo)$. Per verificarlo basta fare così:
Presi $x_1,x_2 in [0,+oo)$ con $x_1 |x_1|<|x_2|=> 1+|x_1|<1+|x_2|=> sqrt(1+|x_1|) f(x_1) Dunque abbiamo che $AA x_1,x_2 in [0,+oo)$ si ha $f(x_1)

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[gugo82]

Non è una novità che la funzione composta da funzioni monotone sia a sua volta monotona...
Anzi è un semplice esercizio dimostrare che (quando non ci siano problemi con la composizione) se [tex]$f(y)$[/tex] è crescente e [tex]$g(x)$[/tex] è crescente [risp. decrescente] allora [tex]$f(g(x))$[/tex] è crescente [risp. decrescente]; al contrario, se [tex]$f(y)$[/tex] è decrescente e [tex]$g(x)$[/tex] è crescente [risp. decrescente] allora $f(g(x))$ è decrescente [risp. crescente].

[N.B.: qui non sono stato troppo preciso; bisognerebbe specificare meglio le ipotesi (perchè se ci sono problemi con la composizione, questo non è un risultato globale, ma solo locale), però il concetto generale è abbastanza chiaro: se la componente esterna è crescente la funzione composta conserva la monotonia della componente interna, mentre la inverte se la componente esterna è decrescente.]

Ad esempio, considera la funzione [tex]$h(x)=\tfrac{1}{1+x^2}$[/tex]; essa è composta da [tex]$f(y)=\tfrac{1}{y}$[/tex] e [tex]$g(x)=1+x^2$[/tex]; la funzione [tex]$f(y)$[/tex] è decrescente in [tex]$]-\infty,0[$[/tex] e [tex]$]0,+\infty[$[/tex] (ma non globalmente in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]!), mentre la funzione [tex]$g(x)$[/tex] è positiva (quindi non ci sono problemi con la composizione) ed è crescente in [tex]$[0,+\infty[$[/tex] e decrescente in [tex]$]-\infty ,0]$[/tex]; conseguentemente la funzione composta [tex]$f(g(x))=h(x)$[/tex] è crescente in [tex]$]-\infty ,0]$[/tex] e decrescente in [tex]$[0,+\infty[$[/tex], come mostra la figura appresso.
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; plot("1/(1+x^2)",-3,3);[/asvg]

[rosannacir]

UhUh...è vero! Che sbadata! E' crescente solo per $x>0$!! Quindi i passaggi che dovrei fare sono:
1) calcolare il $dom f(x)$;
2) prendere due punti qualsiasi e verificare la disuguaglianza.
Giusto?? Più o meno...

[Gi81]

"rosannacir":...Quindi i passaggi che dovrei fare sono:
1) calcolare il $dom f(x)$;
2) prendere due punti qualsiasi e verificare la disuguaglianza.
Giusto?? Più o meno...

Giusto, però attenzione: <> non vuol dire che tu scegli due numeri a tuo piacimento.
Vuol dire scrivere "Siano $x_1, x_2 in dom (f)$ generici con $x_1

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[rosannacir]

Si Gi8...capito

[rosannacir]

gugo82 sei stato chiarissimo. Quindi devo analizzare la funzione composta così come hai fatto tu?

[@melia]

Per la funzione $g(x)=sqrt(1+|x|)-sqrtx$ opererei nel seguente modo
1. dominio, che viene $x>=0$, quindi il modulo non ha senso di esistere e lo tolgo
2. semplifico la funzione $g(x)=sqrt(1+x)-sqrtx$ che scritta in questo modo mi dice ancora poco, allora la "razionalizzo" moltiplicando numeratore e denominatore per $sqrt(1+x)+sqrtx$,
3. la funzione diventa $g(x)=1/(sqrt(1+x)+sqrtx)$, il cui denominatore, essendo somma di funzioni crescenti è crescente, il reciproco di una funzione crescente è decrescente