Funzione convessa

[otrebor6]

Ciao a tutti la traccia di un esercizio mi chiede quando la seguente funzione risulta convessa:
\(\displaystyle (2+x)/(|2+x|+|2-x|) \)

So che per stabilire se una funzione è concava o convessa bisogna studiare la derivata seconda, tuttavia non so come calcolare la derivata del valore assoluto, ricordo che la regola è \(\displaystyle |x|=x/|x| \) tuttavia applicandola mi esce un risultato molto lungo come derivata prima.. qualcuno può darmi una mano?

[Seneca1]

Io direi che la cosa più semplice è applicare la definizione di valore assoluto per scrivere quella funzione come una funzione definita a tratti... Di ciascun ramo dovresti poter tracciare facilmente il grafico e vedere materialmente se e dove quella funzione è convessa o concava o quel che vuoi...

[otrebor6]

Applicando la definizione del valore assoluto ottengo tre casi: x>2, -2 Quindi ho calcolato le derivate seconde in ogni caso ottenendo come risultato:
per x<-2 , per ogni x appartenente ad R
per -2 per x>-2, per ogni x appartenente ad R
Quindi ora per determinare dove la funzione è convessa devo vedere ogni singolo caso ?

[_prime_number]

Non capisco, hai quindi calcolato per ogni caso se la derivata seconda era positiva? Nel caso il problema è già finito!

Paola

[otrebor6]

Si esatto, adesso pero non ho capito se devo fare l'intersezione delle tre soluzioni o no! Se faccio il grafico delle tre soluzioni mi risulta che non è convessa in nessun punto, mentre prese singolarmente il risultato è diverso e non coincide con le alternative proposte dal quesito

[dissonance]

Attenzione che la convessità è una proprietà globale. "Convessa in un punto" non ha nessun senso. "Convessa in un intervallo" ha senso. Hai trovato intervalli in cui la derivata seconda si mantiene positiva, e stai tranquillo che in quegli intervalli la funzione è convessa. Ma ti si chiede anche di stabilire se la funzione è convessa globalmente, e siccome ci sono punti di non derivabilità la cosa è un po' tricky. L'unica è disegnare il grafico e capire geometricamente la situazione. Ecco un esempio di funzione convessa sugli intervalli \( (-\infty, 0]\) e \([0, +\infty)\) presi singolarmente ma non convessa su \(\mathbb{R}\):

[asvg]axes(); plot("(abs(x)-1)^2-2");[/asvg]

[otrebor6]

le alternative nel quesito sono le seguenti:
a)x<=-1
b)x>=1
c)ogni valore reale di x
d)nessun valore reale di x
e)nessuna delle risposte è corretta

La c e la d credo che siano da escludere perchè comunque ci sono intervalli in cui è concava e intevalli in cui è convessa, per il resto non saprei proprio, la a o la b?

[gugo82]

Facendo un disegno di massima si capisce subito quale sia la risposta giusta.

@dissonance: Mi hai preceduto...