Funzione convessa

[marcus83]

Ragazzi ho un quesito per voi.... una funzione convessa ha un minimo assoluto?

[_Tipper]

Certo.

[Fioravante Patrone1]

ehm... no

$f(x) = e^x$ è strettamente convessa su $\RR$ ma non ha min

[Lorenzo Pantieri]

"Fioravante Patrone":ehm... no

$f(x) = e^x$ è strettamente convessa su $\RR$ ma non ha min

Eh, Fioravante, sono lieto di leggere i tuoi interventi, sempre preziosi!

[marcus83]

quindi non è detto che una funzione convessa debba avere un minimo assoluto....può averlo come no..bisogna guardare il grafico quindi se nell'esercizio non ho la funzione non posso dire con certezza che ha un minimo assoluto nonostante sia convessa?

[Fioravante Patrone1]

dal punto di vista della esistenza di un punto di minimo globale la convessità non dice granché

sotto sotto, l'unico strumento generale a disposizione continua a restare il buon vecchio Weierstrass (evetualmente quello generalizzato)

ci sono tuttavia un paio di cose utili:
- se in un punto si annulla la derivata prima, quello è un punto di minimo globale
- la forte convessità implica che la $f$ vada a $+oo$ all'infinito e quindi che si possa usare Weiestrass (ma mi sa che è una roba che non hai fatto e poi l'implicazione è banale)

[marcus83]

il teorema di Weiestrass lo conosco ma non credo siamo arrivati ai livelli di cui parli tu...cmq quello che vorrei sapere e che non si può asserire senza guardare il grafico che una funzione convessa ha un punto di minimo assoluto?

[_Tipper]

Uh! Pare proprio abbia detto una boiata, e neanche piccola... I ricordi di Ricerca Operativa sono sempre più annebbiati, e infatti, quello che si può dire di una funzione convessa, è che se esiste un punto di minimo locale, allora esso è un punto di minimo globale. Ringrazio Fioravante per la correzione e... bentornato!

[Fioravante Patrone1]

"marcus83":il teorema di Weiestrass lo conosco ma non credo siamo arrivati ai livelli di cui parli tu...cmq quello che vorrei sapere e che non si può asserire senza guardare il grafico che una funzione convessa ha un punto di minimo assoluto?

Certo che lo si può fare senza guardare il grafico

Ad esempio, se sai che $f'(x_0)=0$ puoi dire che $x_0$ è un punto di minimo globale. Basterà fare i "conti" necessari



PS: il fatto che un punto di minimo locale sia un punto di minimo globale, ricordato da Tipper, merita di essere aggiunto al "paio" di cose utili che avevo menzionato (in un p.to di minimo locale non è detto che la funzione sia derivabile!)