Funzione convessa
Si supponga che f sia una funzione continua in (a,b) tale che $f(\frac{x+y}{2}) <= \frac{f(x)+f(y)}{2}$ per ogni x,y appartenenti ad (a,b). Si dimostri che f è convessa.
Risposte
Un classicissimo.
"Delirium":
Un classicissimo.
E con questo?
[ot]@Omar Non ho capito la tua risposta; tieni presente che anch'io ti avrei risposto così![/ot]
[ot]
E con questo niente. Una semplice nota a piè pagina.
E poi, visto che vogliamo fare gli spocchiosi...
"Dicevo"? E dove l'avresti detto?[/ot]
"Omar93":
[...] E con questo?
E con questo niente. Una semplice nota a piè pagina.
E poi, visto che vogliamo fare gli spocchiosi...
"Omar93":
Bé dicevo che un problema di matematica non è interessante o meno dalla sua 'classicità' o no.. Tutto qui.
"Dicevo"? E dove l'avresti detto?[/ot]
Ho una domanda...
Ho fatto il disegnino e mi viene che nell'intervallo $(a;b)$, in cui la funzione è continua (dobbiamo dire anche derivabile?), qualsiasi coppia di elementi $(x;y)$ appartenenti all'intevallo con $y>x$ la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto se $f(x+y)/2<(f(y)+f(x))/2$ mentre ha la concavità rivolta verso il basso se $f(x+y)/2>(f(y)+f(x))/2$.
Quello che mi mette in apprensione è $=$, una retta è concava o convessa?
Ho fatto il disegnino e mi viene che nell'intervallo $(a;b)$, in cui la funzione è continua (dobbiamo dire anche derivabile?), qualsiasi coppia di elementi $(x;y)$ appartenenti all'intevallo con $y>x$ la funzione ha la concavità rivolta verso l'alto se $f(x+y)/2<(f(y)+f(x))/2$ mentre ha la concavità rivolta verso il basso se $f(x+y)/2>(f(y)+f(x))/2$.
Quello che mi mette in apprensione è $=$, una retta è concava o convessa?
"gio73":
Quello che mi mette in apprensione è $=$, una retta è concava o convessa?
Entrambe le cose.
Per l'esercizio in questione si tratta di far vedere che \(f\) soddisfa la definizione di convessità, vale a dire
\[
(1) \qquad f(\lambda x + (1-\lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y),
\qquad \forall x,y\in (a,b),\ \forall \lambda\in [0,1].
\]
Per \(x,y\) fissati, vedi subito che la proprietà assegnata non ti permette di stabilire la (1) per ogni valore di \(\lambda\in [0,1]\), ma solo per alcuni valori di \(\lambda\) (quali?).
Se per caso questi valori formano un insieme denso in \([0,1]\), puoi usare l'ipotesi di continuità per concludere che (1) è verificata.
Esercizio 2: mostrare che il risultato non è vero se non si richiede la continuità di \(f\).
"Rigel":
[...] Per \(x,y\) fissati, vedi subito che la proprietà assegnata non ti permette di stabilire la (1) per ogni valore di \(\lambda\in [0,1]\), ma solo per alcuni valori di \(\lambda\) (quali?).
"Rigel":
Esercizio 2: mostrare che il risultato non è vero se non si richiede la continuità di \(f\).
Ciao Rigel. Scusa se mi intrometto; il tuo commento mi ha fatto venire in mente che questo esercizio c'è sul Rudin, R&CA (es. 3, cap. 3): anche Rudin, infatti, chiede di mostrare che la conclusione non è vera se non si assume la continuità.
Tuttavia, già un po' di tempo fa, ho trovato lo stesso esercizio sul Benedetto-Czaja, Integration and modern analysis. Gli autori premettono al testo dell'esercizio la seguente definizione: una funzione $f:I \subset RR \to RR$, con $I$ intervallo, si dice weak convex se soddisfa la disuguaglianza
\[
f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le \frac{f(a)+f(b)}{2}, \qquad \forall a,b \in I
\]
Ebbene, data questa definizione, il loro esercizio (a pag. 162) dice:
Prove that if a weak convex function $f$ is Lebesgue measurable then it is convex. Counterexamples can be constructed for nonmeasurable functions by a Hamel basis argument.
Ora direi che delle due l'una: serve davvero la continuità? O basta la misurabilità?
Grazie.
Basta la misurabilità; la questione è simile a quella che abbiamo già visto tempo fa per la caratterizzazione delle funzioni tali che \(f(2x) = 2 f(x)\).
Ti ringrazio della risposta; è decisamente interessante la questione.
Perdonami ma non mi ricordo di questa discussione: ne avevamo parlato io e te? Potresti darmi un link, per piacere? E scusami per la mia memoria corta...
"Rigel":
[...] la questione è simile a quella che abbiamo già visto tempo fa per la caratterizzazione delle funzioni tali che \(f(2x) = 2 f(x)\).
Perdonami ma non mi ricordo di questa discussione: ne avevamo parlato io e te? Potresti darmi un link, per piacere? E scusami per la mia memoria corta...
Non è che nemmeno io mi ricordi bene 
Mi sembrava si stesse discutendo dell'equazione funzionale di Cauchy; trovi qualcosa di semplice a questo link:
http://math.stanford.edu/~chris/additive.pdf
Mi sembrava si stesse discutendo dell'equazione funzionale di Cauchy; trovi qualcosa di semplice a questo link:
http://math.stanford.edu/~chris/additive.pdf
Tra l'altro, se non ricordo male, c'è un teorema (dovuto a Sierpinski?) il quale dice che se \(f\) è weak-convex (secondo la definizione da te riportata) e misurabile, allora è continua. Di conseguenza richiedere la continuità o la misurabilità è la stessa cosa.
Edit: puoi vedere gli articoli originali di Sierpinski qui, da pag. 105 a pag 128.
Edit: puoi vedere gli articoli originali di Sierpinski qui, da pag. 105 a pag 128.
Uh, che bel risultato quel teorema di Sierpinski! E' proprio quello che ci voleva: ora sì che le cose tornano, hanno ragione entrambi i libri, ottimo!
Grazie Rigel, come al solito sei una fonte inesauribile di informazioni preziose!
Grazie Rigel, come al solito sei una fonte inesauribile di informazioni preziose!
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