Funzione continua in un punto

[l_core]

Salve, questa è la mia prima domanda su questo forum:

non mi è ben chiaro come verificare la continuità di una funzione in un punto dato, utilizzando la relazione tra $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ e $|x - x_0| < \delta$. Ciò che mi manca sono i passaggi che mi portano a dire che in punto $x_0$ la funzione data è continua o meno... Ad esempio ho la funzione $f(x) = x^2$ e voglio verificare che nel punto $x_0 = 2$ f è continua: come fare? Grazie

[gugo82]

Per far vedere che \(f(x):=x^2\) è continua in \(2\) devi mostrare che in corrispondenza di ogni \(\varepsilon >0\) riesci a determinare \(\delta >0\) tale che per ogni \(x \in ]2-\delta ,2+\delta[\) hai \(|x^2-4|<\varepsilon\).

Per fare ciò, immagina che \(\varepsilon >0\) sia un numero fissato e cerca di "risolvere" la disequazione \(|x^2-4|<\varepsilon\): se l'insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene (o si può scrivere come) un intervallo del tipo \(]2-\delta, 2+\delta[\) con \(\delta >0\), allora sei a posto; altrimenti, no.

Fissato \(\varepsilon >0\), la disequazione \(|x^2-4|<\varepsilon\) equivale al sistema:
\[
\begin{cases}
x^2-4>-\varepsilon \\
x^2 -4 <\varepsilon
\end{cases}
\]
Quali sono le soluzioni di questo sistema?

[l_core]

Ringrazio per la risposta e mi scuso se non ho replicato prima. Le soluzioni del sistema che hai proposto sono ovviamente $\sqrt(4-\epsilon) Adesso come faccio a confrontare i due sistemi e "intuire" che la funzione nel punto $x=2$ è continua? Voglio dire, graficamente ho ben chiaro il concetto di funzione continua ma non riesco a capire il procedimento "teorico".

Grazie

[gugo82]

"l_core":Ringrazio per la risposta e mi scuso se non ho replicato prima. Le soluzioni del sistema che hai proposto sono ovviamente $\sqrt(4-\epsilon) Adesso come faccio a confrontare i due sistemi e "intuire" che la funzione nel punto $x=2$ è continua? Voglio dire, graficamente ho ben chiaro il concetto di funzione continua ma non riesco a capire il procedimento "teorico".

Grazie

Quelle che hai trovato, purtroppo, non sono tutte le soluzioni del problema.
Le soluzioni della disequazione \(|x^2-4|<\varepsilon\) sono nell'insieme \(]-\sqrt{4+\varepsilon} ,-\sqrt{4-\varepsilon}[ \cup ]\sqrt{4-\varepsilon} ,\sqrt{4+\varepsilon}[\).

Ora, come detto sopra, vogliamo capire se in questo insieme è contenuto qualche intorno di \(2\) di semiampiezza \(\delta\) (dipendente da \(\varepsilon\)).
Innanzitutto, notiamo che l'intorno \(]2-\delta, 2+\delta[\) che cerchiamo non può essere contenuto nella parte negativa del nostro insieme (cioè nel sottointervallo \(]-\sqrt{4+\varepsilon} ,-\sqrt{4-\varepsilon}[\)), quindi basterà lavorare nel sottointervallo positivo \(]\sqrt{4-\varepsilon} ,\sqrt{4+\varepsilon}[\).
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\sqrt{4-\varepsilon} &= 2-2+\sqrt{4-\varepsilon} = 2- \underbrace{\left( 2-\sqrt{4-\varepsilon}\right)}_{=:\color{maroon}{\delta_1}>0} \\
\sqrt{4+\varepsilon} &= 2-2+\sqrt{4+\varepsilon} = 2+ \underbrace{\left( \sqrt{4-\varepsilon} -2\right)}_{=:\color{maroon}{\delta_2}>0}
\end{split}
\]
quindi possiamo scrivere \(]\sqrt{4-\varepsilon} ,\sqrt{4+\varepsilon}[ = ]2-\delta_1,2+\delta_2[\) con \(\delta_1,\delta_2>0\).
Se prendiamo \(\delta := \min \{ \delta_1,\ \delta_2\}\), abbiamo certamente \(\delta >0\) e pure:
\[
]2-\delta ,2+\delta[ \subset ]2-\delta_1, 2+\delta_2[ = ]\sqrt{4-\varepsilon}, \sqrt{4+\varepsilon}[ \subset ]-\sqrt{4+\varepsilon} ,-\sqrt{4-\varepsilon}[ \cup ]\sqrt{4-\varepsilon} ,\sqrt{4+\varepsilon}[ \; ,
\]
di modo che per ogni \(x\in ]2-\delta ,2+\delta[\) si verifica \(|x^2-4|<\varepsilon\); in particolare, si vede con un semplice conto che \(\delta_2<\delta_1\), quindi:
\[
\delta = \delta_2 = \sqrt{4+\varepsilon} -2
\]
cosicché \(\delta\) dipende da \(\varepsilon\) e da \(x_0=2\).

Abbiamo così provato che, in corrispondenza di un fissato \(\varepsilon >0\) esiste \(\delta = \sqrt{4+\varepsilon} -2 >0\) tale che \(|x^2-4|<\varepsilon\) per ogni \(x\in ]2-\delta, 2+\delta[\).

Ma la scelta di \(\varepsilon >0\) era stata fatta in maniera del tutto arbitraria all'inizio, quindi abbiamo provato che per ogni \(\varepsilon >0\) siamo in grado di determinare \(\delta =\sqrt{4+\varepsilon} -2 >0\) tale che \(|x^2-4|<\varepsilon\) per \(x\in ]2-\delta ,2+\delta[\), ovvero abbiamo dimostrato che vale la continuità di \(f(x)=x^2\) in \(x_0=2\).