Funzione continua $=>$ funzione misurabile per Lebesgue
non riesco a capire come mai una funzione continua è misurabile secondo Lebesgue.chi mi da una mano?
Risposte
Basta scrivere la definizione di funzione misurabile, mazzy. E ricordare che un insieme aperto è anche misurabile secondo Lebesgue.
"dissonance":
Basta scrivere la definizione di funzione misurabile, mazzy. E ricordare che un insieme aperto è anche misurabile secondo Lebesgue.
allora la definizione che conosco di funzione misurabile è:
sia $E sube RR^n$ con $E in L$ ($L$ classe degl'insiemi misurabili) e consideriamo la funzione $f: E -> RR$. Diremo che $f$ è misurabile se $AA alpha in RR$ l'insieme $E_(alpha)={x in E : f(x)>alpha} in L$. L'insieme $E_(alpha)$ è aperto e quindi misurabile ma dove entra in gioco la continuità?ì
"mazzy89":Proprio qui. Se $f$ non fosse continua, come faresti a concludere che $E_alpha$ è aperto? Rifletti su questo punto che è estremamente importante. Considera ad esempio la funzione segno, che non è continua:
L'insieme $E_(alpha)$ è aperto e quindi misurabile ma dove entra in gioco la continuità?ì
Prova a disegnare l'insieme $E_{-0.5}$. Vedi un po' se è aperto.
"dissonance":Proprio qui. Se $f$ non fosse continua, come faresti a concludere che $E_alpha$ è aperto? Rifletti su questo punto che è estremamente importante. Considera ad esempio la funzione segno, che non è continua:
[quote="mazzy89"]L'insieme $E_(alpha)$ è aperto e quindi misurabile ma dove entra in gioco la continuità?ì
Prova a disegnare l'insieme $E_{-0.5}$. Vedi un po' se è aperto.[/quote]
so che potrebbe sembrare molto puerile ed errato ma il nostro professore per questioni di tempo ci ha insegnato a riconoscere gli intervalli aperti da quelli chiusi se nell'intervallo compare il segno di uguale o no. per esempio $f(x)>alpha$ è aperto perchè non compare l'uguale.
Questa facciamo finta di non averla sentita, mazzy. 
Scusa, disegna l'insieme $E_{-0.5}$. E' facile. Sono le $x$ per cui le corrispondenti $y$ in quel grafico rosso sono strettamente maggiori di $-0.5$. Poi vediamo se è un insieme aperto o no.
Scusa, disegna l'insieme $E_{-0.5}$. E' facile. Sono le $x$ per cui le corrispondenti $y$ in quel grafico rosso sono strettamente maggiori di $-0.5$. Poi vediamo se è un insieme aperto o no.
ci provo io, l'insieme $E_(-0.5)$ dovrebbe essere $(0,+\infty)$, perciò è aperto.
"tinam73":
ci provo io, l'insieme $E_(-0.5)$ dovrebbe essere $(0,+\infty)$, perciò è aperto.
purtroppo non riesco ancora a capire.un insieme è aperto se e solo se è costituito da una funzione continua?
"tinam73":Volevi dire $[0, +\infty)$?
ci provo io, l'insieme $E_(-0.5)$ dovrebbe essere $(0,+\infty)$, perciò è aperto.
"mazzy89":No mazzy non ci siamo. Queste sono cose da analisi 0.01, non puoi non saperle nel momento in cui studi l'integrazione secondo Lebesgue. Devi ripassare (o studiare) i fondamenti della topologia dei numeri reali. Ti passo un link ad una piccola dispensa presente sul sito, che contiene proprio il minimo-minimo indispensabile:
purtroppo non riesco ancora a capire.un insieme è aperto se e solo se è costituito da una funzione continua?
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710171840/
Aggiungi anche questa, che contiene i fondamenti (ridotti all'osso) di topologia in $RR^n$:
https://www.matematicamente.it/appunti/a ... 710161825/
(Grazie a Luca Lussardi e Gianni Sammito, autori di queste dispense).
"dissonance":Volevi dire $[0, +\infty)$?[/quote]
[quote="tinam73"]ci provo io, l'insieme $E_(-0.5)$ dovrebbe essere $(0,+\infty)$, perciò è aperto.
si hai ragione, quindi non è aperto!
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