Funzione Continua e Differenziabile
rieccomi all'attacco..
nuovo problema..
devo verificare se
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
-sia continua in (0,0)
-abbia un gradiente $\grad f(x,y)=((partial f)/(partial x)(0,0),(partial f)/(partial y)(0,0))$
-sia differenziabile in $(0,0)$
ho fatto dei macelli e vorrei dei pareri o quantomeno una spintarella iniziale..
nuovo problema..
devo verificare se
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
-sia continua in (0,0)
-abbia un gradiente $\grad f(x,y)=((partial f)/(partial x)(0,0),(partial f)/(partial y)(0,0))$
-sia differenziabile in $(0,0)$
ho fatto dei macelli e vorrei dei pareri o quantomeno una spintarella iniziale..
Risposte
Sei certo del testo? a me non sembra che venga continua nell'origine...
no, no, hai ragione, ho scritto male, devo verificare SE........
Ok, infatti la continuità temo che salti, e quindi anche la differenziabilità. La derivabilità invece potrebbe esserci, devi controllare con la definizione.
allora, per verificare la continuita' devo controllare che il limite per $(x,y)->0$ sia proprio $0$, giusto??
ma come faccio a vedere se il limite esiste per ogni direzione con cui mi avvicino a (0,0)?? operativamente intendo..
ma come faccio a vedere se il limite esiste per ogni direzione con cui mi avvicino a (0,0)?? operativamente intendo..
se mi muovo sugli assi la cosa sembra funzionare, giusto?? il numeratore e' identicamente nullo e non si schioda dallo zero, mentre al denominatore ci si avvicina piano piano allo zero 
come faccio adesso a trovare delle direzioni tali che la cosa non torni??
e nel caso in cui la funzione che sto analizzando sia effettivamente continua, come me ne accorgo?? non posso certo mettermi pedestremente a fare i limiti per tutte le direzioni possibili, o no??
come faccio adesso a trovare delle direzioni tali che la cosa non torni??
e nel caso in cui la funzione che sto analizzando sia effettivamente continua, come me ne accorgo?? non posso certo mettermi pedestremente a fare i limiti per tutte le direzioni possibili, o no??
No, lungo gli assi il numeratore non vale $0$ identicamente... è proprio questo fatto che mi faceva pensare che tu avessi scritto male il testo.
ma si!!!! che pirla!!!!! hai ragione, ho proprio sbagliato!!!!!!!
riscrivo corretto.. che pirlotto, scusa se ti ho fatto perdere tempo..
allora..
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
questo e' quello corretto........
riscrivo corretto.. che pirlotto, scusa se ti ho fatto perdere tempo..
allora..
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
questo e' quello corretto........
Sì, allora viene continua, devi fare un po' di giri con due o tre limiti notevoli: moltiplica e dividi per $2xy$.
pero' non mi e' chiaro come possa escludere a priori che ci possano essere delle direzioni non vagliate tali che il limite lungo queste direzioni venga diverso da zero..
puoi aiutarmi??
puoi aiutarmi??
Non devi andare per restrizioni, il limite esiste e fa $0$. Moltiplica e dividi per $2xy$ come dicevo sopra. La prima frazione $(e^{2xy}-1-2sin(xy))/(2xy)$ la spezzi in due e qui usi due limite notevoli; la frazione che resta, ovvero $(2xy)/(log(1+x^2+y^2))$, è leggermente più delicata, ti conviene sfruttare il fatto noto $2|xy|\le x^2+y^2$ e usare il Teorema dei carabinieri.
bellissima..!!
adesso per il gradiente mi basta fare la derivata parziale rispetto a x e y e controllare che esista in (0,0), giusto??
invece per la differenziabilita' ho notevoli dubbi sul da farsi..
dovrei derivare e vedere se le derivate sono continue?? basta o serve una restrizione piu' grande? cioe' mi basta dimostrare che la funzione e' di classe $C^1$..
adesso per il gradiente mi basta fare la derivata parziale rispetto a x e y e controllare che esista in (0,0), giusto??
invece per la differenziabilita' ho notevoli dubbi sul da farsi..
dovrei derivare e vedere se le derivate sono continue?? basta o serve una restrizione piu' grande? cioe' mi basta dimostrare che la funzione e' di classe $C^1$..
Una volta che hai le due derivate parziali nell'origine (se non ci sono non hai la differenziabilità e tutto è finito) ti conviene mostrare a mano se hai la differenziabilità, usando la rappresentazione del differenziale come combinazione delle derivate parziali.
quindi dici che devo esprimere il differenziale
$df(x,y)=(partial f)/(partial x)dx+(partial f)/(partial y)dy$
dalla definizione di differenziale (differenziale totale), giusto??
ma una volta che esprimo in questa forma come vedo se e' differenziabile in (0,0)??
$df(x,y)=(partial f)/(partial x)dx+(partial f)/(partial y)dy$
dalla definizione di differenziale (differenziale totale), giusto??
ma una volta che esprimo in questa forma come vedo se e' differenziabile in (0,0)??
Usi la definizione di differenziale e vedi se è verificata (limite=0); se il diff esiste è per forza la combinazione delle derivate parziali che hai già.
"Luca.Lussardi":
Usi la definizione di differenziale e vedi se è verificata (limite=0); se il diff esiste è per forza la combinazione delle derivate parziali che hai già.
ma quella ce ho scritto sopra non e' proprio la definizione di differenziale??
mi sono accorto che il mio italiano comincia a vacillare..
No, io parlavo della definizione di differenziale con il limite dell'incremento: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y)-f(0,0)-df(0,0)(x,y))/(||(x,y)||)=0$.
ecco.. io arrivato a questo punto mi blocco, perche' non so mai come sostituire il tutto.. come si esplicita l'equazione che hai scritto??
e quel $df(0,0)$ che hai scritto sopra e' lo stesso $df(x,y)$ che ho scritto nel post sopra io??
e quel $df(0,0)$ che hai scritto sopra e' lo stesso $df(x,y)$ che ho scritto nel post sopra io??
"Luca.Lussardi":
No, io parlavo della definizione di differenziale con il limite dell'incremento: $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y)-f(0,0)-df(0,0)(x,y))/(||(x,y)||)=0$.
$f(0,0) = 0$ quindi non da contributo al limite.
il resto me par che vada tutto a 0 presi singolarmente, come esplicito il tutto??
help me plz..
Sì, certo che va a zero singolarmente, è l'incremento... ma devi controllare che quel limite è zero come limite in due variabili. Prima però devi assicurarti che le derivate parziali nell'origine esistano, le hai trovate quelle?
allora, le derivate parziali sono se ho fatto giusti i conti:
$\frac{\partial f}{\partial x}=(2y e^(2xy)-2y cos(xy))(log(1+x^2+y^2))/((log(1+x^2+y^2))^2) +(((2x)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2=
$=(2y e^(2xy)-2y cos(xy))/(log(1+x^2+y^2)) +(((2x)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2$
$\frac{\partial f}{\partial y}=(2x e^(2xy)-2x cos(xy))(log(1+x^2+y^2))/((log(1+x^2+y^2))^2) +(((2y)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2 =
$=(2x e^(2xy)-2x cos(xy))/(log(1+x^2+y^2)) +(((2y)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2$
come vedo se esistono in (0,0)??
perdona l'ignoranza..
$\frac{\partial f}{\partial x}=(2y e^(2xy)-2y cos(xy))(log(1+x^2+y^2))/((log(1+x^2+y^2))^2) +(((2x)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2=
$=(2y e^(2xy)-2y cos(xy))/(log(1+x^2+y^2)) +(((2x)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2$
$\frac{\partial f}{\partial y}=(2x e^(2xy)-2x cos(xy))(log(1+x^2+y^2))/((log(1+x^2+y^2))^2) +(((2y)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2 =
$=(2x e^(2xy)-2x cos(xy))/(log(1+x^2+y^2)) +(((2y)/(1+x^2+y^2))(e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2))^2$
come vedo se esistono in (0,0)??
perdona l'ignoranza..
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