Funzione Continua e Differenziabile
rieccomi all'attacco..
nuovo problema..
devo verificare se
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
-sia continua in (0,0)
-abbia un gradiente $\grad f(x,y)=((partial f)/(partial x)(0,0),(partial f)/(partial y)(0,0))$
-sia differenziabile in $(0,0)$
ho fatto dei macelli e vorrei dei pareri o quantomeno una spintarella iniziale..
nuovo problema..
devo verificare se
$f(x,y)={((e^(2xy)-1-2sin(xy))/(log(1+x^2+y^2)),if (x,y)!=(0,0)),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
-sia continua in (0,0)
-abbia un gradiente $\grad f(x,y)=((partial f)/(partial x)(0,0),(partial f)/(partial y)(0,0))$
-sia differenziabile in $(0,0)$
ho fatto dei macelli e vorrei dei pareri o quantomeno una spintarella iniziale..
Risposte
Non serve a nulla questo calcolo... le devi calcolare con la definizione in $(0,0)$!
come limite del rapporto incrementale??
$(partial f)/(partial x)(0,0)=\lim_(h \to 0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$
e idem dicasi per $(partial f)/(partial y)$??
$(partial f)/(partial x)(0,0)=\lim_(h \to 0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$
e idem dicasi per $(partial f)/(partial y)$??
Esattamente.
benissimo.. adesso per la differenziabilita' mi hai detto che deve seistere $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y)-f(0,0)-df(0,0)(x,y))/(||(x,y)||)=0$
quindi, $f(0,0)=0$ identicamente, la $f(x,y)$ la scrivo cosi com'e', il df per quello che ne so io, e' $df(0,0)=(\partial f)/(\partial x)dx+(\partial f)/(\partial y)dy$ che altri non e' se non il prodotto scalare tra il vettore gradiente e (dx,dy).
il gradiente in (0,0) e' uguale a $\nabla f (0,0)=(0,0)$
dai calcoli del limite del rapporto incrementale..
quindi il tutto si riduce a $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y))/(||(x,y)||)=0$
giusto??
quindi alla fine della fiera sara':
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}(e^(2xy)-1-2\sin(xy))/(log (1+x^2+y^2))(\sqrt(x^2+y^2))=0$
sbaglio??
quindi, $f(0,0)=0$ identicamente, la $f(x,y)$ la scrivo cosi com'e', il df per quello che ne so io, e' $df(0,0)=(\partial f)/(\partial x)dx+(\partial f)/(\partial y)dy$ che altri non e' se non il prodotto scalare tra il vettore gradiente e (dx,dy).
il gradiente in (0,0) e' uguale a $\nabla f (0,0)=(0,0)$
dai calcoli del limite del rapporto incrementale..
quindi il tutto si riduce a $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y))/(||(x,y)||)=0$
giusto??
quindi alla fine della fiera sara':
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}(e^(2xy)-1-2\sin(xy))/(log (1+x^2+y^2))(\sqrt(x^2+y^2))=0$
sbaglio??
Non sbagli, se quel limite viene 0 allora hai la differenzibilita' nell'origine, con differenziale nullo.
vediamo un po'.. allora, faccio la stessa procedura di prima, nella quale moltiplicavo e dividevo er $2xy$ in modo tale che:
$\lim (e^(2xy)-1)/(2xy)=1$
$\lim (2sen (xy))/(2xy) =1$
$\lim (2xy)/(log(1+x^2+y^2))\sqrt (x^2+y^2)$ sempre per i carabinieri $lim (x^2+y^2)/(log (1+x^2+y^2)) \sqrt (x^2+y^2)=1(\sqrt(x^2+y^2))=0$
mi sembra ci sia tutto e che la funzione sia differenziabile.. dimmi che non ho sbagliato tutto!!
$\lim (e^(2xy)-1)/(2xy)=1$
$\lim (2sen (xy))/(2xy) =1$
$\lim (2xy)/(log(1+x^2+y^2))\sqrt (x^2+y^2)$ sempre per i carabinieri $lim (x^2+y^2)/(log (1+x^2+y^2)) \sqrt (x^2+y^2)=1(\sqrt(x^2+y^2))=0$
mi sembra ci sia tutto e che la funzione sia differenziabile.. dimmi che non ho sbagliato tutto!!
Non riesco a capire come mai la radice sia finita sopra... stava sotto e ti fa esplodere il tutto, quindi mi sa che il th dei carabinieri stavolta non funziona. Prova a passare a coordinate polari, magari non esiste.
"mashiro":
...
quindi il tutto si riduce a $\lim_{(x,y)\to (0,0)}(f(x,y))/(||(x,y)||)=0$
giusto??
quindi alla fine della fiera sara':
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}(e^(2xy)-1-2\sin(xy))/(log (1+x^2+y^2))(\sqrt(x^2+y^2))=0$
sbaglio??
ma allora qui ho sbagliato.. e' tipo:
$\lim_{(x,y)\to (0,0)}(e^(2xy)-1-2\sin(xy))/(log (1+x^2+y^2)(\sqrt(x^2+y^2)))=0$
e questo effettivamente non e' zero, proprio perche' la radice sotto fa esplodere tutto..
in coordinate polari la parte del logaritmo diventa:
$\rho ^2/(log (1+\rho^2)(\rho))$
che in zero tende ad infinito..
Sì, ma il fattore davanti tende a 0 quindi è indeterminata come forma.
ma poooooorca.... temevo questa risposta.
e dove cavolo sbatto la testa??
e dove cavolo sbatto la testa??
Mi pare che, buttando via il logaritmo e ri-osservando che $x^2+y^2 \ge 2xy$, hai che $0 \le (f(x,y))/(||(x,y)||) \le (e^{2xy}-1-2 sin(xy))/(x^2+y^2)^{3/2}$. Se adesso mandi $||(x,y)||\to 0$ dovrebbe tenderti a 0 il secondo membro ma ho fatto il conto a mente, prova a controllare.
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