Funzione Continua e Derivabile
Provare che se $f$ \`e una funzione continua su un intervallo $$[a,b]$$
e derivabile su $$(a,b),$$
con $$f(a)=f(b)=0,$$
allora per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ esiste $x\in (a,b)$ tale che,
$$\alpha f(x)+ f'(x) =0.$$
Bisogna trovare la funzione ausiliaria e poi applicare il teorema di Lagrange , però non so come procedere... Mi servirebbe una mano , grazie!
e derivabile su $$(a,b),$$
con $$f(a)=f(b)=0,$$
allora per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ esiste $x\in (a,b)$ tale che,
$$\alpha f(x)+ f'(x) =0.$$
Bisogna trovare la funzione ausiliaria e poi applicare il teorema di Lagrange , però non so come procedere... Mi servirebbe una mano , grazie!
Risposte
Casomai non ti rispondesse nessuno (a questa e alle altre domande che hai fatto), la ragione potrebbe probabilmente essere questa:
1.2 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare. NON è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
(Preso dal regolamento del forum)
1.2 Per aiuto reciproco si intende: discussioni e scambio di informazioni che hanno l'obiettivo di chiarire dubbi, lacune e difficoltà nello svolgimento di un esercizio o nello studio della teoria. Uno scambio di questo tipo arricchisce chi pone correttamente le domande perché può migliorare le sue conoscenze e arricchisce chi fornisce risposte e consigli perché ha modo di rafforzare le proprie conoscenze, valutare e migliorare la propria capacità di comunicare e insegnare. NON è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
(Preso dal regolamento del forum)
Ho provato ad applicare il teorema di Weierstrass e dopo , Sia $ x_0 $ un punto di massimo o di minimo interno ad A , esiste un intorno $I(x_0,r) $contenuto in A tale che $ \forall x \in A $ risulta $ f(x)\leqf(x_0) $.
Sia ora |h|< r , il rapporto incrementale = $ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $ . Poichè |h| < r , dunque $ f(x_0+h) \leq f(x_0) $. La funzione per ipotesi è derivabile in $x_0 $ ,allora esiste il limite del rapporto incrementale e con il teorema della permanenza del segno , otteniamo:
$ f^1(x) $ = $$\lim_{h\to 0^+} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \leq 0 $$
$ f^1(x_0) $ = $$\lim_{h\to 0^-} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \geq 0 $$
la derivata $ f^1(x_0) $ dovrà dunque essere contemporaneamente $\leq 0 $ e $ \geq 0 $ ; e questo è possibile solo se $f^1(x_0) = 0$ ..
Sia ora |h|< r , il rapporto incrementale = $ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} $ . Poichè |h| < r , dunque $ f(x_0+h) \leq f(x_0) $. La funzione per ipotesi è derivabile in $x_0 $ ,allora esiste il limite del rapporto incrementale e con il teorema della permanenza del segno , otteniamo:
$ f^1(x) $ = $$\lim_{h\to 0^+} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \leq 0 $$
$ f^1(x_0) $ = $$\lim_{h\to 0^-} (f(x_0 + h) -f(x_0)\frac{h}{f} \geq 0 $$
la derivata $ f^1(x_0) $ dovrà dunque essere contemporaneamente $\leq 0 $ e $ \geq 0 $ ; e questo è possibile solo se $f^1(x_0) = 0$ ..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo