Funzione continua, differenziabile, derivate direzionali
Se $(x,y) \ne (0,0)$
$f(x,y)=(x^2y)/(x^4 + y^2)$
Mentre è $0$ se $(x,y) = (0,0)$
Mi si chiede se è continua, se esistono le derivate direzionali e se è differenziabile.
Per vedere se è continua dobbiamo vedere se esiste il $\lim_{(x,y)->(0,0)} f(x,y)$ e in tal caso dovrebbe essere zero? se uso le parabole mi viene $1/2$ se uso le rette viene invece $+ oo$ quindi non è continua?
Posso quindi dire che non è differenziabile.
Se fosse stata continua avrei dovuto calcolare le derivate direzionali di un vettore generico nel punto $(0,0)$ e andare a vedere se si poteva usare $\nabla f(0,0)\ \vec v$? In tal caso sarebbe stata sicuramente differenziabile?
$f(x,y)=(x^2y)/(x^4 + y^2)$
Mentre è $0$ se $(x,y) = (0,0)$
Mi si chiede se è continua, se esistono le derivate direzionali e se è differenziabile.
Per vedere se è continua dobbiamo vedere se esiste il $\lim_{(x,y)->(0,0)} f(x,y)$ e in tal caso dovrebbe essere zero? se uso le parabole mi viene $1/2$ se uso le rette viene invece $+ oo$ quindi non è continua?
Posso quindi dire che non è differenziabile.
Se fosse stata continua avrei dovuto calcolare le derivate direzionali di un vettore generico nel punto $(0,0)$ e andare a vedere se si poteva usare $\nabla f(0,0)\ \vec v$? In tal caso sarebbe stata sicuramente differenziabile?
Risposte
Sulle rette il limite viene \(0\) (non infinito), ma sulla parabola \(y=x^2\) viene \(1/2\).
Il limite dunque non esiste, per cui la funzione non è continua. Di conseguenza, non è nemmeno differenziabile.
Le derivate direzionali le puoi calcolare (se esistono) usando la definizione.
Il limite dunque non esiste, per cui la funzione non è continua. Di conseguenza, non è nemmeno differenziabile.
Le derivate direzionali le puoi calcolare (se esistono) usando la definizione.
perchè viene $0$ ?
Per le derivate direzionali
$f'_v (0,0) = (f(tv_1,tv_2) - f(0,0)) / t $
$= (t^2v_1^2\ tv_2) / (t^4v_1^4 + t^2v_2^2)$
come si fa a dire se esistono, se sono continue,nel caso lo sono solo se la funzione è differenziabile? mi puoi aiutare?
Grazie mille
Per le derivate direzionali
$f'_v (0,0) = (f(tv_1,tv_2) - f(0,0)) / t $
$= (t^2v_1^2\ tv_2) / (t^4v_1^4 + t^2v_2^2)$
come si fa a dire se esistono, se sono continue,nel caso lo sono solo se la funzione è differenziabile? mi puoi aiutare?
Grazie mille
il limite ho capito perchè viene zero, il resto?
up 
Grazie mille
Grazie mille
Per le derivate direzionali calcola il limite distinguendo i casi \(v_2 = 0\) (dunque \(v_1\neq 0\)) e \(v_2\neq 0\).
questo perchè se la variabile $t -> 0$ il termine dominante è $t^2v^2$ ? Grazie
in due variabili come si può essere certi che in un punto le derivate parziali sono continue? se esiste ed è unico il limite del rapporto incrementale? o devono avere lo stesso valore della funzione in quel punto? piccolo dubbio
in due variabili come si può essere certi che in un punto le derivate parziali sono continue? se esiste ed è unico il limite del rapporto incrementale? o devono avere lo stesso valore della funzione in quel punto? piccolo dubbio
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