Funzione continua, derivabile, derivate direzionali, diff.bile
Ciao a tutti.
Avrei un dubbio riguardante lo studio di una funzione nel punto O=(0,0), la quale vale:
- $f(x,y) = x^3 * e^(x^2/y)$ per $y \!= 0 $
- $f(x,y) = 0$ per $y=0$
Per la continuità sono abbastanza sicuro, infatti tale funzione nn dovrebbe essere continua poichè imponendo $y=x^2$ ed $y=x^3$ i limiti per $x -> 0$ sono $0$ ed $\infty$.
Di conseguenza la funzione non sarà nemmeno differenziabile non essendo continua.
La derivabilità invece mi lascia dei dubbi, e di conseguenza anche l'esistenza delle derivate direzionali.
- $ lim/(h->0) (f(h,0)-f(0-0))/h =$ indefinita (non sono sicuro di questo risultato)
- $ lim/(k->0) (f(0,k)-f(0-0))/k =$ $0$
Così è come verrebbe a me, quindi non derivabile non essendo finiti entrambi i limiti, mentre sull'esercizio risolto di un amico la funzione viene derivabile poichè entrambi i limiti sono $0$.
Chiedo poi già che ci sono consigli su come potrei comportarmi in situazioni analoghe, se ci sono metodi più facili od intuitivi per capire se la funzione è derivabile.
All'inizio mi viene suggerito che la funzione vale $0$ per $y=0$. Questo mi da qualche indizio su come controllare la derivabilità della funzione?
Quello che mi lascia dei dubbi è proprio quest'ultima condizione. Infatti ricercando il dominio della funzione questa non dovrebbe essere definita in $y=0$ e non essendovi definita allora non può essere derivabile (e nemmeno continua).
Se così fosse allora non capisco bene la condizione $f(x,y)=0$ per $y=0$.
Scusate i ragionamenti magari sbagliati ma li ho voluti scrivere per far meglio comprendere i dubbi.
Vi ringrazio molto in anticipo
Avrei un dubbio riguardante lo studio di una funzione nel punto O=(0,0), la quale vale:
- $f(x,y) = x^3 * e^(x^2/y)$ per $y \!= 0 $
- $f(x,y) = 0$ per $y=0$
Per la continuità sono abbastanza sicuro, infatti tale funzione nn dovrebbe essere continua poichè imponendo $y=x^2$ ed $y=x^3$ i limiti per $x -> 0$ sono $0$ ed $\infty$.
Di conseguenza la funzione non sarà nemmeno differenziabile non essendo continua.
La derivabilità invece mi lascia dei dubbi, e di conseguenza anche l'esistenza delle derivate direzionali.
- $ lim/(h->0) (f(h,0)-f(0-0))/h =$ indefinita (non sono sicuro di questo risultato)
- $ lim/(k->0) (f(0,k)-f(0-0))/k =$ $0$
Così è come verrebbe a me, quindi non derivabile non essendo finiti entrambi i limiti, mentre sull'esercizio risolto di un amico la funzione viene derivabile poichè entrambi i limiti sono $0$.
Chiedo poi già che ci sono consigli su come potrei comportarmi in situazioni analoghe, se ci sono metodi più facili od intuitivi per capire se la funzione è derivabile.
All'inizio mi viene suggerito che la funzione vale $0$ per $y=0$. Questo mi da qualche indizio su come controllare la derivabilità della funzione?
Quello che mi lascia dei dubbi è proprio quest'ultima condizione. Infatti ricercando il dominio della funzione questa non dovrebbe essere definita in $y=0$ e non essendovi definita allora non può essere derivabile (e nemmeno continua).
Se così fosse allora non capisco bene la condizione $f(x,y)=0$ per $y=0$.
Scusate i ragionamenti magari sbagliati ma li ho voluti scrivere per far meglio comprendere i dubbi.
Vi ringrazio molto in anticipo
Risposte
"Gando89":
Infatti ricercando il dominio della funzione questa non dovrebbe essere definita in y=0 e non essendovi definita allora non può essere derivabile (e nemmeno continua).
Se così fosse allora non capisco bene la condizione f(x,y)=0 per y=0.
Forse sta qui il tuo problema. La funzione è fatta così:
vale
- (i) $x^3*e^(-x^2/y)$ per $(x,y) \in RR$ con $y!=0$
(ii) $0$ per $(x,y)$, con $x \in RR$ e $y=0$
[/list:u:16nw01nu]
Tu dici che non è definita in $y=0$, ma l'autore dell'esercizio fa proprio questo: dice che in $y=0$ assume valore $0$.
Ora si tratta di studiare la continuità nell'origine. I limiti che hai calcolato lungo le due $\gamma(t)$ che hai scritto vengono entrambi finiti e uguali a $0$. Per $\gamma(t)=(t,t^2)$ si ha infatti $ lim_(t->0) f \circ gamma(t)=0 $ , e stessa cosa vale per $\beta(t)=(t,t^3)$. Come sappiamo però questo non basta a dire che il limite vale $0$: infatti esistono infinite curve lungo le quali possiamo effettuare il limite.
Dovresti trovare che $ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y)=0 $.
Perciò la funzione è continua nell'origine.
Per vedere se è derivabile studiamo l'esistenza delle due derivate parziali e vediamo se esistono finite.
Lungo la direzione $e_1$, cioè l'asse $x$ hai $ lim_(h -> 0) (f(h,0)-f(0,0))/(h) = lim_(h -> 0) f(h,0)/h $. Ora poichè per qualsiasi punto del tipo $(bar(x),0)$ la funzione vale $0$, hai che il limite è nullo. Questo era evidente senza fare alcun conto: infatti lungo la direzione dell'asse $x$ la funzione assume valore costante quindi è corretto che la derivata risulti nulla.
Lungo $e_2$ hai $ lim_(k -> 0) (f(0,k)-f(0,0))/(k) = lim_(k -> 0) f(0,k)/k=0 $
Pertanto la funzione è derivabile parzialmente nell'origine e $ (partial f(x,y))/(partial x)=0,(partial f(x,y))/(partial y) =0 $.
Ora, sappiamo che il differenziale è un'applicazione lineare(in questo caso da $RR^2 \rarr RR$) tale che $ lim_(x -> p)(|f(x)-f(p)-T(x-p)|)/(|x-p|) =0$. Poiché è un'applicazione lineare, se lui esistesse, dovrebbe essere la funzione lineare $T(x,y)=0$.
Quindi deve essere che $ lim_((x,y) -> (0,0))(|f(x,y)-f(0,0)- 0|)/(sqrt(x^2+y^2))=0$.
Svolgendo $lim_((x,y) -> (0,0))(|f(x,y)|)/(sqrt(x^2+y^2))=lim_((x,y) -> (0,0)) x^3*e^(-x^2/y)/(sqrt(x^2+y^2))=0 $, pertanto la funzione in $(0,0)$ è continua, derivabile lungo gli assi coordinati, e differenziabile.
Spero di non aver preso abbagli
"Gando89":
Chiedo poi già che ci sono consigli su come potrei comportarmi in situazioni analoghe, se ci sono metodi più facili od intuitivi per capire se la funzione è derivabile.
In genere per questo tipo di esercizi si studia prima la continuità: se lo è si procede col calcolo delle derivate lungo gli assi e con la verifica se la funzione è differenziabile, infatti la sola continuità, con derivabilità e esistenza di derivate direzionali non è sufficiente a garantire la differenziabilità. Spesso si tratta di risolvere limiti tipo quello, dopo aver trovato un candidato...il limite potrebbe però tranquillamente risultare diverso da $0$.
Prova a risolvere questo esercizio, simile al tuo, utilizza lo stesso concetto.
Esercizio:
Sia $ f:={ ( log(1+3y^3)/(x^2+y^2);(x,y)!=0 ) ,(0; (x,y)=(0,0)):} $ Discuterne (i)continuità, (ii) derivabilità direzionale, (iii) differenziabilità , il tutto nell'origine.
Soluzione
Ciao!
Prima di tutto ti ringrazio molto per la risposta.
Una piccola cosa: la funzione ha esponente positivo e non negativo come mi sembra l'abbia trattata tu.
Quindi, teoria a parte che ovviamente vale in ogni caso, viene ugualmente come l'hai risolta? Continua, derivabile e differenziabile nel caso appunto di esponente positivo?
Per quanto riguarda la continuità dicevo che non era continua appunto continua perchè in un primo momento i limiti non mi venivano entrambi nulli. Infatti come hai detto nel momento in cui vengono 0 con diversi avvicinamenti questo non vuol dire che la funzione sia lo stesso continua. L'unico modo per dimostrarlo, da quello che sono le mie conoscenze, è che il limite in coordinate polari venga nullo (potendo applicare una trasformazione con queste coordinate), con $rho -> 0$, oppure effettuando una maggiorazione, considerando la funzione in modulo, in modo tale da dimostrare che una funzione più grande in termini assoluti tenda comunque a zero, il che dimostrerebbe appunto che anche la funzione soggetto dello studio tenda a zero.
Altrimenti si può solo dimostrare che una funzione non è continua trovando avvicinamenti diversi per cui i limiti non sono uguali.
Prima di tutto ti ringrazio molto per la risposta.
Una piccola cosa: la funzione ha esponente positivo e non negativo come mi sembra l'abbia trattata tu.
Quindi, teoria a parte che ovviamente vale in ogni caso, viene ugualmente come l'hai risolta? Continua, derivabile e differenziabile nel caso appunto di esponente positivo?
Per quanto riguarda la continuità dicevo che non era continua appunto continua perchè in un primo momento i limiti non mi venivano entrambi nulli. Infatti come hai detto nel momento in cui vengono 0 con diversi avvicinamenti questo non vuol dire che la funzione sia lo stesso continua. L'unico modo per dimostrarlo, da quello che sono le mie conoscenze, è che il limite in coordinate polari venga nullo (potendo applicare una trasformazione con queste coordinate), con $rho -> 0$, oppure effettuando una maggiorazione, considerando la funzione in modulo, in modo tale da dimostrare che una funzione più grande in termini assoluti tenda comunque a zero, il che dimostrerebbe appunto che anche la funzione soggetto dello studio tenda a zero.
Altrimenti si può solo dimostrare che una funzione non è continua trovando avvicinamenti diversi per cui i limiti non sono uguali.
Non me ne ero accorto... scusami.
In tal caso la funzione non risulta ovviamente continua poiché lungo cammini diversi abbiamo trovato limiti diversi come hai trovato tu. Chiaramente quindi non è differenziabile.
Per le derivate parziali nell'origine cambia qualcosa?
Per quelle direzionali nella direzione degli altri vettori $(v_x,v_y)$ puoi considerare il limite $lim_(t \rarr 0) ((f(0,0)+t(v_x,v_y)) - f(0,0))/(t)$
In tal caso la funzione non risulta ovviamente continua poiché lungo cammini diversi abbiamo trovato limiti diversi come hai trovato tu. Chiaramente quindi non è differenziabile.
Per le derivate parziali nell'origine cambia qualcosa?
Per quelle direzionali nella direzione degli altri vettori $(v_x,v_y)$ puoi considerare il limite $lim_(t \rarr 0) ((f(0,0)+t(v_x,v_y)) - f(0,0))/(t)$
Ad ogni modo, visto che nel tuo esercizio non viene calcolato il differenziale, ti invito ugualmente a provare a risolvere quello che ti ho proposto (sempre che tu ne abbia voglia chiaramente 
)
)
Allora...
Per il problema che mi hai proposto l'ho risolto così (adesso ho paura...
)
Per quanto riguarda la continuità avendo a denominatore $x^2+y^2$ dovrebbe essere più comodo passare in coordinate polari, e facendo perciò
$lim/(\rho->0) log(1+3*\rho^2*sin^2\theta)/\rho^2$
dovrebbe risultare $0$, quindi la funzione dovrebbe essere continua in $(0,0)$
Derivabilità:
$lim/(h->0) log(1+3y^2)/h^2 = 0$
$lim/(k->0) log(1+3k^2)/k^2 = 0$
Perciò la funzione è derivabile in $(0,0)$
Derivate direzionali:
$lim/(t->0) log(1+3*t^2*sin^2\theta)/t^2 * 1/t = 0$
Ed essendo il limite finito esistono tutte le derivate direzionali.
Differenziabilità:
$lim/((h,k)->(0,0)) log (1+3*k^2)/(h^2+k^2) * 1/(h^2+k^2)^(1/2) = lim/(\rho->0) log(1+3*\rho^2*sin^2\theta)/\rho^3 = 0$
Perciò la funzione risulta differenziabile.
Così è come mi sono abituato a risolvere gli esercizi, anche se probabilmente (ed evidentemente, altrimenti non avrei difficoltà) ogni tanto mi "incaglio" in certi limiti (quelli che tendono a $0$ solitamente che hanno termini fratti come nell'esercizio precedente, l'esponente nel caso specifico).
Ora..spero veramente di aver risolto correttamente l'esercizio o che quanto meno il metodo risolutivo non sia completamente errato.
(Anzi, mi sono ricordato che sotto avevi messo la risoluzione quindi prima lo posto e poi sbircio, per non barare, nel caso me ne pentirò subito!
)
Per il problema che mi hai proposto l'ho risolto così (adesso ho paura...
)Per quanto riguarda la continuità avendo a denominatore $x^2+y^2$ dovrebbe essere più comodo passare in coordinate polari, e facendo perciò
$lim/(\rho->0) log(1+3*\rho^2*sin^2\theta)/\rho^2$
dovrebbe risultare $0$, quindi la funzione dovrebbe essere continua in $(0,0)$
Derivabilità:
$lim/(h->0) log(1+3y^2)/h^2 = 0$
$lim/(k->0) log(1+3k^2)/k^2 = 0$
Perciò la funzione è derivabile in $(0,0)$
Derivate direzionali:
$lim/(t->0) log(1+3*t^2*sin^2\theta)/t^2 * 1/t = 0$
Ed essendo il limite finito esistono tutte le derivate direzionali.
Differenziabilità:
$lim/((h,k)->(0,0)) log (1+3*k^2)/(h^2+k^2) * 1/(h^2+k^2)^(1/2) = lim/(\rho->0) log(1+3*\rho^2*sin^2\theta)/\rho^3 = 0$
Perciò la funzione risulta differenziabile.
Così è come mi sono abituato a risolvere gli esercizi, anche se probabilmente (ed evidentemente, altrimenti non avrei difficoltà) ogni tanto mi "incaglio" in certi limiti (quelli che tendono a $0$ solitamente che hanno termini fratti come nell'esercizio precedente, l'esponente nel caso specifico).
Ora..spero veramente di aver risolto correttamente l'esercizio o che quanto meno il metodo risolutivo non sia completamente errato.
(Anzi, mi sono ricordato che sotto avevi messo la risoluzione quindi prima lo posto e poi sbircio, per non barare, nel caso me ne pentirò subito!
)
Ed infatti è tutto sbagliato 
Ho notato ora che ho sbagliato anche io la funzione proposta mettendo a numeratore un termine al quadrato e non al cubo).
Non credo sarebbe cambiato molto in quanto l'avrei risolta allo stesso modo..
Per quanto riguarda il limite di $fy$ , l'avrei calcolato uguale a $0$ lo stesso..
$lim t->0 log(1+3*t^3*sin^3\theta)/t^3$.
I passaggi che farei per risolverlo sono:
$3*t^3*sin^3\theta" = 0$.. Quindi $log(1) = 0$. E di conseguenza 0 su qualcosa che tende a $0$ è $0$.
So che sto scrivendo eresie, ma vorrei capire dove sbaglio nei ragionamenti per correggerli.
Ho notato ora che ho sbagliato anche io la funzione proposta mettendo a numeratore un termine al quadrato e non al cubo).
Non credo sarebbe cambiato molto in quanto l'avrei risolta allo stesso modo..
Per quanto riguarda il limite di $fy$ , l'avrei calcolato uguale a $0$ lo stesso..
$lim t->0 log(1+3*t^3*sin^3\theta)/t^3$.
I passaggi che farei per risolverlo sono:
$3*t^3*sin^3\theta" = 0$.. Quindi $log(1) = 0$. E di conseguenza 0 su qualcosa che tende a $0$ è $0$.
So che sto scrivendo eresie, ma vorrei capire dove sbaglio nei ragionamenti per correggerli.
Non ti preoccupare se ti risulta sbagliato: significa che c'è qualcosa che non hai ancora assimilato per bene. Riguardati la teoria per bene.
(i) Non farti ingannare dal presunto $\rho^2$ al denominatore: riconosci un limite notevole e il gioco è fatto.
Vale la seguente maggiorazione infatti: $ |f(x,y)|\leq |(log(1+3y^3))/(y^2)|=|(log(1+3y^3))/(3y^3)|*|3y| \rarr 0 $
Ho dimostrato che è continua senza dover passare in coordinate polari: anche perché non saprei come potresti aver risolto il limite in polari...
(ii)Capitolo derivabilità: per definizione la funzione lungo l'asse $y=0$ è costante: ovvio quindi che la derivata $f'_(x)=0$.
Calcoliamo la derivata lungo il versore $e_2$ corrispondente all'asse $y$:
$ (partialf)/(partial y) =lim_(h\rarr0) (f(0,h)-f(0,0))/(h)=(log(1+3h^3))/h^3\rarr 3 $.
(iii) Parte più interessante: chi è il candidato differenziale ?
"Gando89":
Per quanto riguarda la continuità avendo a denominatore x2+y2 dovrebbe essere più comodo passare in coordinate polari,
(i) Non farti ingannare dal presunto $\rho^2$ al denominatore: riconosci un limite notevole e il gioco è fatto.
Vale la seguente maggiorazione infatti: $ |f(x,y)|\leq |(log(1+3y^3))/(y^2)|=|(log(1+3y^3))/(3y^3)|*|3y| \rarr 0 $
Ho dimostrato che è continua senza dover passare in coordinate polari: anche perché non saprei come potresti aver risolto il limite in polari...
(ii)Capitolo derivabilità: per definizione la funzione lungo l'asse $y=0$ è costante: ovvio quindi che la derivata $f'_(x)=0$.
Calcoliamo la derivata lungo il versore $e_2$ corrispondente all'asse $y$:
$ (partialf)/(partial y) =lim_(h\rarr0) (f(0,h)-f(0,0))/(h)=(log(1+3h^3))/h^3\rarr 3 $.
(iii) Parte più interessante: chi è il candidato differenziale ?
Mi viene da piangere.
Allora, prima di dire altre caspionate ti faccio un'ulteriore domanda: Ho capito il limite notevole ed effettivamente risolvendolo così è veloce ed immediato. Ovviamente il problema sta nell' "immaginarsi" avendo solo la funzione davanti quale sia il metodo migliore o nel pensare appunto ad eventuali semplificazione da apportarvi per poterlo risolvere senza fare conti strani (e sbagliati nel mio caso).
Però non capisco per la derivabilità in che senso "per definizione la funzione l'ungo l'asse $y = 0$ è costante." Il perchè essendo costante poi $ f'_(x)=0 $ è chiaro anche a me.
Ti chiedo scusa per il macello che sto combinando e per le domande, ma più la faccio e meno la capisco.. è la magia di analisi nel mio caso..
Allora, prima di dire altre caspionate ti faccio un'ulteriore domanda: Ho capito il limite notevole ed effettivamente risolvendolo così è veloce ed immediato. Ovviamente il problema sta nell' "immaginarsi" avendo solo la funzione davanti quale sia il metodo migliore o nel pensare appunto ad eventuali semplificazione da apportarvi per poterlo risolvere senza fare conti strani (e sbagliati nel mio caso).
Però non capisco per la derivabilità in che senso "per definizione la funzione l'ungo l'asse $y = 0$ è costante." Il perchè essendo costante poi $ f'_(x)=0 $ è chiaro anche a me.
Ti chiedo scusa per il macello che sto combinando e per le domande, ma più la faccio e meno la capisco.. è la magia di analisi nel mio caso..
"Gando89":
Però non capisco per la derivabilità in che senso "per definizione la funzione l'ungo l'asse $y = 0$ è costante." Il perchè essendo costante poi $ f'_(x)=0 $ è chiaro anche a me.
L'asse $y=0$ è l'asse $x$. Ora guarda com'è definita la funzione: vale $0$ quando la $y=0$. Cioè per qualsiasi punto $(x,y)$ con la $y=0$ si ha che la funzione vale $0$. Più chiaro di così non saprei come dirtelo
.
Certo certo! Ho capito scusami.. effettivamente quando invece $x=0$ la funzione assume valori differenti a seconda della $y$. Calcolando il limite come hai fatto tu risulta essere uguale a $3$.
I limiti quindi esistono entrambi finiti ma non coincidono, perciò la funzione non è derivabile è esatto?
I limiti quindi esistono entrambi finiti ma non coincidono, perciò la funzione non è derivabile è esatto?
"Gando89":
I limiti quindi esistono entrambi finiti ma non coincidono, perciò la funzione non è derivabile è esatto?
Non ci siamo: non stiamo parlando di limite destro e sinistro che non coincidono come nel caso unidimensionale. La cosa qui è diversa.
La tua funzione è derivabile parzialmente rispetto a $x$ e $y$ poiché i limiti esistono e sono finiti.
Va bene ti ringrazio molto..
Per la differenziabilità dubito di poter rispondere correttamente a questo punto. Il limite da valutare dovrebbe essere questo.
$lim/((x,y)->(0,0)) log(1+3*y^3)/(x^2+y^2) * 1/sqrt(x^2+y^2)$
Per la differenziabilità dubito di poter rispondere correttamente a questo punto. Il limite da valutare dovrebbe essere questo.
$lim/((x,y)->(0,0)) log(1+3*y^3)/(x^2+y^2) * 1/sqrt(x^2+y^2)$
Ripeto la domanda, che nel frattempo si è persa, chi è il candidato differenziale? $T(x,y)=...$
Il limite che hai scritto purtroppo non capisco da dove salti fuori, e non è quello che devi risolvere per verficarne la differenziabilità
$T(x,y)=...$Il limite che hai scritto purtroppo non capisco da dove salti fuori, e non è quello che devi risolvere per verficarne la differenziabilità
Temo di non sapere la risposta allora.
Il limite che ho scritto in cui in verità avrei dovuto sostituire $x$ ed $y$ con $h$ e $k$ è ciò che credevo di aver capito si dovesse usare per verificare appunto la differenziabilità:
Una funzione è differenziabile nel momento in cui
$lim/((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)*h - f_y(x_0,y_0)*k) / sqrt(h^2+k^2) = 0$
Da qua il mio limite precedente.
Non so perciò il candidato differenziale quale dovrebbe essere.
Il limite che ho scritto in cui in verità avrei dovuto sostituire $x$ ed $y$ con $h$ e $k$ è ciò che credevo di aver capito si dovesse usare per verificare appunto la differenziabilità:
Una funzione è differenziabile nel momento in cui
$lim/((h,k)->(0,0)) (f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) - f_x(x_0,y_0)*h - f_y(x_0,y_0)*k) / sqrt(h^2+k^2) = 0$
Da qua il mio limite precedente.
Non so perciò il candidato differenziale quale dovrebbe essere.
Il candidato differenziale è proprio $T(x,y)=3y$. Il limiteche hai scritto nell'ultimo topic per la verifica della differenziabilità va bene: gli ultimi due addendi del denominatore risultano infatti $-f_x(x_0,y_0)*h - f_y(x_0,y_0)*k=-0*h-3k=-3k$.Questa è proprio la definizione di $T(x,y)=3y$.
Ricorda che il differenziale è un'applicazione lineare che va in $RR$ in questo caso, pertanto il risultato è giusto sia un numero.
Ricorda che il differenziale è un'applicazione lineare che va in $RR$ in questo caso, pertanto il risultato è giusto sia un numero.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo