Funzione continua a tratti su ogni sottointervallo?
Una funzione $f: [a,b]$ $rarr$ $RR$ dicesi continua a tratti se è continua in ogni punto dell'intervallo tranne che in un numero finito di punti, in cui si ha una discontinuità eliminabile o di salto.
Sia $f$ una funzione continua a tratti su ogni sottointervallo chiuso e limitato di $I$.
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni continue a tratti garantisce che ogni funzione integrale $F$ di $f$ su $I$ è continua su $I$ , derivabile in tutti i punti in cui $f$ è continua con $F'(x)=f(x)$ e in ogni punto di discontinuità di salto interno ad $I$ $F$ presenta un punto angoloso. $F$ è detta primitiva generalizzata di $f$ su $I$.
1) Se il punto di discontinuità è eliminabile, $F$ in quel punto non è definita?
2) Se $f$ è una funzione continua a tratti in $I$ come fa ad esserlo in ogni sotttointervallo (chiuso e limitato) di $I$? Dovrebbe avere un numero infinito di tali punti di discontinuità
Sia $f$ una funzione continua a tratti su ogni sottointervallo chiuso e limitato di $I$.
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale per funzioni continue a tratti garantisce che ogni funzione integrale $F$ di $f$ su $I$ è continua su $I$ , derivabile in tutti i punti in cui $f$ è continua con $F'(x)=f(x)$ e in ogni punto di discontinuità di salto interno ad $I$ $F$ presenta un punto angoloso. $F$ è detta primitiva generalizzata di $f$ su $I$.
1) Se il punto di discontinuità è eliminabile, $F$ in quel punto non è definita?
2) Se $f$ è una funzione continua a tratti in $I$ come fa ad esserlo in ogni sotttointervallo (chiuso e limitato) di $I$? Dovrebbe avere un numero infinito di tali punti di discontinuità
Risposte
2) Ma no, mica deve per forza esserci una discontinuità in ogni sottointervallo. Su alcuni ci sarà e su altri no.
1) Queste domande tradiscono che non ti fai esempi. Fatti un esempio e ti si chiarirà tutto immediatamente. Non ragionare sull'aria fritta, fatti esempi.
Gugo aveva una bella firma prima, che diceva "real teachers tackle examples". È proprio vero.
1) Queste domande tradiscono che non ti fai esempi. Fatti un esempio e ti si chiarirà tutto immediatamente. Non ragionare sull'aria fritta, fatti esempi.
Gugo aveva una bella firma prima, che diceva "real teachers tackle examples". È proprio vero.
"dissonance":
2) Ma no, mica deve per forza esserci una discontinuità in ogni sottointervallo. Su alcuni ci sarà e su altri no.
1) Queste domande tradiscono che non ti fai esempi. Fatti un esempio e ti si chiarirà tutto immediatamente. Non ragionare sull'aria fritta, fatti esempi.
Gugo aveva una bella firma prima, che diceva "real teachers tackle examples". È proprio vero.
Grazie
Mi sono fatto degli esempi e per questo ho ipotizzato che $F$ , come primitiva cioè tale che $F'(x) = f(x)$, sia non definita dove $f$ ha una discontinuità eliminabile. $F$ come integrale definito esiste invece.
Scrivi un esempio qui e lo correggiamo, se vuoi.
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