Funzione Continua?
Salve, sono di nuovo qua perchè mi è cambiato il prof e quindi ha cambiato la prova d'esame; ero perfettamente in grado di superare l'esame precedente! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
cmq
ecco uno (dei tanti) problemi che mi ritrovo:
sia $f(x)$ la funzione definita in $RR$ da:
$ f(x) = { ( ln(x-1)cos(1/(x-2)) --- se x != 2),( 1 ----------- se x = 2 ):} $
stabilire se è continua.
questo esercizio dovrebbe essere semplice, ma pur conoscendo la definizione (la quale non riesco ad applicarla) ho provato a procedere nel seguente modo:
ho "spezzettato" la funzione in due (come se fosse f.composta) per analizzarla:
$g(x)= ln(x-1)$ è definita e continua per $(x-1)>0$ quindi per $x>1$
$h(x)=cos(1/(x-2))$ è definita e continua su tutto $RR$ [C.E. $x-2 !=0 -> x != 2$]
la funzione $f(x)$ è definita e continua per $x>1$ con $x!=2$
non credo sia giusto in quanto non ho considerato il caso che f(x) = 1 se x = 2
spero in un vostro aiuto
Grazie Mille!
cmqecco uno (dei tanti) problemi che mi ritrovo:
sia $f(x)$ la funzione definita in $RR$ da:
$ f(x) = { ( ln(x-1)cos(1/(x-2)) --- se x != 2),( 1 ----------- se x = 2 ):} $
stabilire se è continua.
questo esercizio dovrebbe essere semplice, ma pur conoscendo la definizione (la quale non riesco ad applicarla) ho provato a procedere nel seguente modo:
ho "spezzettato" la funzione in due (come se fosse f.composta) per analizzarla:
$g(x)= ln(x-1)$ è definita e continua per $(x-1)>0$ quindi per $x>1$
$h(x)=cos(1/(x-2))$ è definita e continua su tutto $RR$ [C.E. $x-2 !=0 -> x != 2$]
la funzione $f(x)$ è definita e continua per $x>1$ con $x!=2$
non credo sia giusto in quanto non ho considerato il caso che f(x) = 1 se x = 2
spero in un vostro aiuto
Grazie Mille!
Risposte
Una funzione è continua in $x_0$ se esiste finito il $lim_(x->x_0) f(x) $ e vale $f(x_0)$ , quindi basta calcolare il $lim_(x->2) ( ln(x-1)cos(1/(x-2))$, se viene 1 è continua, altrimenti non lo è.
A occhio, spero che sia ancora buono, il limite viene 0, quindi la funzione non è continua perché $lim_(x->x_0) f(x) != f(x_0)$
A occhio, spero che sia ancora buono, il limite viene 0, quindi la funzione non è continua perché $lim_(x->x_0) f(x) != f(x_0)$
Grazie Mille sei stata molto chiara! 
comincio subito a lavorarci!
comincio subito a lavorarci!
ho sviluppato i calcoli: $lim_(x->2) ln(x-1) = e$
e $lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1$ = 1
ed allora $lim_(x->2) e * 1 = e$ quindi la funzione non è continua (il tuo occhio è ancora buono! )
spero di non aver commesso errori.
Grazie di Tutto.Ciao
e $lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1$ = 1
ed allora $lim_(x->2) e * 1 = e$ quindi la funzione non è continua (il tuo occhio è ancora buono!
)spero di non aver commesso errori.
Grazie di Tutto.Ciao
"12Aquila":
$lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1 = 1$
Mmm.. avrei qualcosa da ridire su quello $0^(-1) = 1$! Il limite non esiste, ti basta questo per dire che non è continua. Per essere continua devo esistere entrambi i limiti.
"12Aquila":
ho sviluppato i calcoli: $lim_(x->2) ln(x-1) = e$
e $lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1$ = 1
ed allora $lim_(x->2) e * 1 = e$ quindi la funzione non è continua (il tuo occhio è ancora buono!
spero di non aver commesso errori.
speri male.
scusa se te lo dico, ma non credo proprio che il tuo problema sia il fatto che hai cambiato professore, perchè hai scritto cose terribili.
$lim_(x to 2) ln(x-1) = e$ !!! direi che $ln(1)=0$ non $e$...
poi quella "trasformazione" non ha il minimo senso, è proprio incommentabile.
inoltre @melia ti ha detto che fa $0$, non che fa $e$.
"pater46":
[quote="12Aquila"]$lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1 = 1$
Mmm.. avrei qualcosa da ridire su quello $0^(-1) = 1$! Il limite non esiste, ti basta questo per dire che non è continua. Per essere continua devo esistere entrambi i limiti.[/quote]
i calcoli che avevo fatto: $lim_(x->2) cos(1/(x-2)) = lim_(x->2) cos (x-2)^-1 = cos 0^-1 = cos 0 = 1$
allora concludo l'esercizio dicendo che non è continua sia perchè il lim fa zero e quindi $!= f(x_0)$ [come ha detto @melia] ed inoltre come hai detto tu devono esistere entrambi i limiti.
Grazie!
"blackbishop13":
[quote="12Aquila"]ho sviluppato i calcoli: $lim_(x->2) ln(x-1) = e$
e $lim_(x->2) cos(1/(x-2))$ non esiste, oppure se lo trasformo: $lim_(x->2) cos(x-2)^-1$ = 1
ed allora $lim_(x->2) e * 1 = e$ quindi la funzione non è continua (il tuo occhio è ancora buono!
spero di non aver commesso errori.
speri male.
scusa se te lo dico, ma non credo proprio che il tuo problema sia il fatto che hai cambiato professore, perchè hai scritto cose terribili.
$lim_(x to 2) ln(x-1) = e$ !!! direi che $ln(1)=0$ non $e$...
poi quella "trasformazione" non ha il minimo senso, è proprio incommentabile.
inoltre @melia ti ha detto che fa $0$, non che fa $e$.[/quote]
per il fatto che mi è cambiato prof, il problema è che mi ha cambiato tutta la prova d'esame ed io mi ero allenato su tipologie d'esercizi che mi aspettavo e quindi non ho trovato. solitamente preparo bene tutte le materie e la maggior parte delle volte le supero con voti alti, sto studiando la matematica da solo da neanche due mesi, senza aver seguito il corso e senza avere grandi basi dalla scuola superiore (il primo prof universitario che ho avuto di matematica mi copiava il libro alla lavagna e non gli si poteva chiedere niente; cmq ad eccezione di questo gli altri prof sono delle persone meravigliose e sono loro che ci invogliano e ci trasmettono l'entusiasmo a studiare) la matematica è l'ultima materia che mi rimane in questo semestre e non posso andare avanti se non la supero. Ho pensato di mettere tutte le mie forze per cercare di superarla entro luglio, altrimenti la studierò per bene e ci provo a settembre; anche se riuscissi a superarla ora, per l'estate preparerei una materia non sottoposta a blocco.
Non sono in cerca di una scorciatoia o una strada facile, posto su questo sito perchè con tre libri che ho comprato nessuno è chiaro e schietto e pur studiando, certi problemi mi aiutano a capirli le brave persone che ci sono qua.
Scusate, ma ho illustrato la mia situazione per sottolineare che scrivo in questo sito solo dopo aver tentato in diversi modi e non per cercare la semplice soluzione ma per capire i procedimenti.
comunque, ritornando all'esercizio: hai ragione, in effetti ho sbagliato il limite fa 1, mi è sfuggito, non ho avuto il tempo di ricontrollare i calcoli.
in quella trasformazione ho capovolto la parentesi invertendo il segno dell'esponente, credevo si potesse fare anche in questo caso.
Grazie ad entrambi per le correzioni!
lasciamo perdere le considerazioni esterne, torniamo un secondo all'esercizio in questione:
è vero che non esiste $lim_(x to 2) cos(1/(x-2))$
ma il limite $lim_(x to 2) cos(1/(x-2)) * ln(x-1)$ esiste e fa $0$ !
state sbagliando entrambi.
inoltre 12Aquila continui a scrivere cose che omstrano che non hai presente cosa stai facendo:
cose vuol dire che il limite fa $0$ ma contemporaneamente non esiste??? è quello che hai detto.
e poi alla fine dici che il limite fa $1$ ??? ma da dove salta fuori??
non so se l'hai capito ma $cos(a^(-1)) != cos(a)^(-1) $ ed è assurdo pensarlo.
è vero che non esiste $lim_(x to 2) cos(1/(x-2))$
ma il limite $lim_(x to 2) cos(1/(x-2)) * ln(x-1)$ esiste e fa $0$ !
state sbagliando entrambi.
inoltre 12Aquila continui a scrivere cose che omstrano che non hai presente cosa stai facendo:
cose vuol dire che il limite fa $0$ ma contemporaneamente non esiste??? è quello che hai detto.
e poi alla fine dici che il limite fa $1$ ??? ma da dove salta fuori??
non so se l'hai capito ma $cos(a^(-1)) != cos(a)^(-1) $ ed è assurdo pensarlo.
in effetti si è creata un pò di confusione
sono pienamente d'accordo, ed il secondo fa zero perchè $ln 1 = 0$
non esiste il limite del coseno e quindi il limite completo (cos * ln) fa zero
quel passaggio del limite che fa 1, ho voluto dire a pater46 che non facevo $0^-1 =1$ ma ho fatto $cos 0^-1 = 1$; ma il procedimento non c'entra più con l'esercizio perche mi hai fatto notare che quella trasformazione della frazione è errata.
"blackbishop13":
è vero che non esiste $lim_(x to 2) cos(1/(x-2))$
ma il limite $lim_(x to 2) cos(1/(x-2)) * ln(x-1)$ esiste e fa $0$ !
state sbagliando entrambi.
sono pienamente d'accordo, ed il secondo fa zero perchè $ln 1 = 0$
"blackbishop13":
inoltre 12Aquila continui a scrivere cose che omstrano che non hai presente cosa stai facendo:
cose vuol dire che il limite fa $0$ ma contemporaneamente non esiste??? è quello che hai detto.
non esiste il limite del coseno e quindi il limite completo (cos * ln) fa zero
"blackbishop13":
e poi alla fine dici che il limite fa $1$ ??? ma da dove salta fuori??
quel passaggio del limite che fa 1, ho voluto dire a pater46 che non facevo $0^-1 =1$ ma ho fatto $cos 0^-1 = 1$; ma il procedimento non c'entra più con l'esercizio perche mi hai fatto notare che quella trasformazione della frazione è errata.
"12Aquila":
non esiste il limite del coseno e quindi il limite completo (cos * ln) fa zero
questa frase mi fa dubitare del fatto che tu abbia davvero capito perchè quel limite è $0$.
e siccome sono buono
cerco di assicurarmi che tu abbia capito:$lim _ (x to 2) (x-2)cos(1/(x-2))$ farà $0$ sei d'accordo ?
tu dici sì perchè abbiamo $0$ per un limite che non esiste.
ma questa non è affatto una buona spiegazione, devi anche osservare che il coseno è una funzione limitata.
grazie, è premuroso da parte tua assicurarti che abbia capito,
si, in effetti $lim _ (x to 2) (x-1)cos(1/(x-2))$ dico che farà $0$ perchè abbiamo $0$ per un limite che non esiste.
questo lo osservo quando faccio il limite del coseno, che non esiste perchè non può esistere $cos oo$ in quanto la funzione coseno è limitata a (-1; 1)
questo ho capito, dovrebbe essere giusto.
Grazie ancora!
si, in effetti $lim _ (x to 2) (x-1)cos(1/(x-2))$ dico che farà $0$ perchè abbiamo $0$ per un limite che non esiste.
"blackbishop13":
ma questa non è affatto una buona spiegazione, devi anche osservare che il coseno è una funzione limitata.
questo lo osservo quando faccio il limite del coseno, che non esiste perchè non può esistere $cos oo$ in quanto la funzione coseno è limitata a (-1; 1)
questo ho capito, dovrebbe essere giusto.
Grazie ancora!
No, non ci sei ancora.
Non ti spaventare, ma non hai capito.
Partiamo da qui:
Che cosa significa?
Io dalle tue parole capisco: "non posso far tendere la $x$ a infinito perchè il coseno è limitato". E' questo che intendevi? Se è così ti invito a riflettere profondamente su quella considerazione perchè è assolutamente errata.
Prova a pensarci e poi ci fai sapere.
Non ti spaventare, ma non hai capito.
Partiamo da qui:
"12Aquila":
[...] quando faccio il limite del coseno, che non esiste perchè non può esistere $cos oo$ in quanto la funzione coseno è limitata a (-1; 1)
Che cosa significa?
Io dalle tue parole capisco: "non posso far tendere la $x$ a infinito perchè il coseno è limitato". E' questo che intendevi? Se è così ti invito a riflettere profondamente su quella considerazione perchè è assolutamente errata.
Prova a pensarci e poi ci fai sapere.
in effetti intendevo una cosa del genere 
ci rifletterò un pò e domani con calma vi farò sapere (magari la notte porta consiglio)
Grazie
ci rifletterò un pò e domani con calma vi farò sapere (magari la notte porta consiglio)
Grazie
ho riflettuto un pò e consultando le varie definizioni (e qualche sito web) sono arrivato alla seguente conclusione:
la funzione coseno non è monotona, quindi non esiste un valore a cui tende coseno al tendere dell'argomento ad infinito (dove può assumere qualsiasi valore)
riguardo al limite ho trovato un sito dove dicono:
non sono tanto convinto di questo ...
...
la funzione coseno non è monotona, quindi non esiste un valore a cui tende coseno al tendere dell'argomento ad infinito (dove può assumere qualsiasi valore)
riguardo al limite ho trovato un sito dove dicono:
Quindi si ottiene una forma indeterminata 0*infinito. Il teorema di l'Hopital si può applicare qualora i limiti per x->0 di f(x) tendano a 0, ma in questo caso f(x) non tende a 0 e non è nemmeno derivabile in quell' intorno, fatto che mi porta a dire che il limite non esiste.
non sono tanto convinto di questo ...
...
"12Aquila":
sono arrivato alla seguente conclusione:
la funzione coseno non è monotona, quindi non esiste un valore a cui tende coseno al tendere dell'argomento ad infinito (dove può assumere qualsiasi valore)
Ma sai che la funzione coseno è, comunque, limitata tra $-1$ e $1$, quindi $ - ln(x-1) <= cos (1/(x-2))*ln(x-1) <= ln(x-1) \ \ AA x>1$ inoltre abbiamo appena dimostrato che $lim_(x->2) ln(x-1)=0$ e quindi anche $lim_(x->2) - ln(x-1)=0$ , per il teorema del confronto si ha che anche $lim_(x->2) cos (1/(x-2))*ln(x-1)=0$
Grazie @melia sei stata chiarissima
ora ho capito perfettamente!
ora ho capito perfettamente!
ho seri dubbi sul fatto che tu abbia capito perfettamente..
affermi che la funzione $cos(x)$ non ha limite per $x to infty$ perchè non è monotona..
questa è una sciocchezza.
se ti chiedessi allora di fare $lim _(x to infty) cos(x)/x$ cosa mi diresti?
che siccome non è monotona non ha limite?
il pezzo che poi hai riportato sulla forma di indeterminazione $0 * infty$ non c'entra nulla.
affermi che la funzione $cos(x)$ non ha limite per $x to infty$ perchè non è monotona..
questa è una sciocchezza.
se ti chiedessi allora di fare $lim _(x to infty) cos(x)/x$ cosa mi diresti?
che siccome non è monotona non ha limite?
il pezzo che poi hai riportato sulla forma di indeterminazione $0 * infty$ non c'entra nulla.
"12Aquila":Fai bene. Da come è scritto si capisce che non è una fonte affidabile. Lascia perdere questi siti pescati qua e là, prendi il tuo libro di analisi e studia quello.Quindi si ottiene una forma indeterminata 0*infinito. Il teorema di l'Hopital si può applicare qualora i limiti per x->0 di f(x) tendano a 0, ma in questo caso f(x) non tende a 0 e non è nemmeno derivabile in quell' intorno, fatto che mi porta a dire che il limite non esiste.
non sono tanto convinto di questo ...
ok lasciamo stare ciò che ho detto.blackbishop13, ho capito la dimostrazione di @melia con il teorema del confronto che il lim = 0, questo dovrebbe essere esaustivo per dire che il lim della funzione è 0 e quindi non è continua. no?
"dissonance":
Fai bene. Da come è scritto si capisce che non è una fonte affidabile. Lascia perdere questi siti pescati qua e là, prendi il tuo libro di analisi e studia quello.
veramente questa volta è stata un'eccezione, solitamente utilizzo sempre i miei libri, è che certi argomenti non vengono trattati in modo chiaro ed alcune cose mancano (ad es. il mio topic precedente sul lim al variare di alpha a cui sto ancora lavorando) cmq grazie per avermelo fatto notare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo