Funzione continua

[Hop Frog1]

Ho un dubbio sulla definizione di funzione continua.
In particolare nel caso dei punti isolati.
Nei punti isolati, se vi è il valore per quel punto, la funzione si può dire continua in quel punto, giusto?
quindi se io definisco una funzione che va da P, insieme dei numeri pari, a R, definita:
f(x)=x/2
questa è una funzione di soli punti isolati, continua in ognuno di questi punti, quindi continua in tutto il dominio.
Ma se applichiamo la definizione di continuità ovvero che in ogni punto il mlimite di un valore è uguale al valore assunto in quel punto,
come faccio a considerare il limite in ogni punto della mia funzione P->R ?

[dissonance]

Infatti spesso si parla di limite di una funzione nei soli punti di accumulazione del dominio. Questo risolve radicalmente il tuo problema, perché così non ha proprio senso parlare di limiti per $f(x)$. Sull'argomento ci sono state interessanti discussioni dirette da Fioravante Patrone, prova a cercare sul forum.

[Hop Frog1]

ok ma dunque un ultima cosa.
sarebbe corretto dire che la tangente è una funzione continua su tutto il dominio?
in quanto non definita per 90+k180 ?

[dissonance]

Certo. Correttissimo. Purtroppo (specialmente nelle scuole superiori) è invalso l'uso di dire che quella funzione "presenta delle discontinuità" nei punti corrispondenti a $90° + k 180°$. Questo è sostanzialmente scorretto.

[Paolo902]

"Hop Frog":
quindi se io definisco una funzione che va da P, insieme dei numeri pari, a R, definita:
f(x)=x/2
questa è una funzione di soli punti isolati, continua in ognuno di questi punti, quindi continua in tutto il dominio.

A tutti gli effetti, quella che definisci tu è più vicina ad una successione che non a una funzione (intesa nel senso "reale di variabile reale").
Infatti il dominio è (un sottoinsieme di) $NN$.
Ma le successioni sono per definizione continue in ogni loro punto, proprio perchè ogni loro punto è isolato (ti invito a riflettere sul fatto che un punto isolato soddisfa alla definizione di continuità in un punto data per funzioni. Sia $x_0$ isolato; considera un intorno di $f(x_0)$ e raggio $epsilon$, sicuramente trovi ...).