Funzione continua
esiste una funzione $f:[0,1]\rightarrow RR$ continua che non ammette derivata in nessun punto di $[0,1]$?
Ci sto sbattendo la testa ma non riesco a trovarla.
Ci sto sbattendo la testa ma non riesco a trovarla.
Risposte
Giusti (Analisi Matematica 2 pg108) ne costruisce una utilizzando le serie di Fourier: prendi $a$ intero dispari e $0
$f(x)=\sum_{n=}^{+oo}b^ncos(a^nx)$ lui ricava una condizione su a,b affinchè f non sia derivabile
$f(x)=\sum_{n=}^{+oo}b^ncos(a^nx)$ lui ricava una condizione su a,b affinchè f non sia derivabile
una un pò più semplice e magari più intuitiva non esistre? comqunque grazie per la dritta.
qua a pg 39 trovi una costruzione fatta utilizzando gli spazi di baire. Credo che sia meno semplice e meno intuitiva ma non so proprio cosa suggerirti 
Sul libro di Rudin Principi di analisi matematica ce n'è un'altra (Teorema 7.18, pagina 152 dell'edizione italiana), costruita così:
definiamo [tex]\forall x \in [-1, 1],\ \varphi (x) =\lvert x \rvert[/tex] ed estendiamo la definizione di [tex]\varphi[/tex] a tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] prolungandola per periodicità: [tex]\varphi (x+2) = \varphi(x)[/tex]. In sostanza il grafico di questa funzione è una fila infinita di triangoli isosceli di base 2 e altezza 1, in particolare [tex]\varphi[/tex] è continua ed ha un punto angoloso per ogni [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex]. Definiamo
[tex]\displaymath f(x)= \sum_{n=0} ^ \infty (\frac{3}{4})^n \varphi (4^n x)[/tex]
Questa serie converge uniformemente per il criterio di Weierstrass (o, se preferisci, converge totalmente): il termine generale è sovrastato da [tex](\frac{3}{4})^n[/tex]; in particolare [tex]f[/tex] è ben definita e continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]. Però [tex]f[/tex] non è derivabile in nessun punto. Se vuoi dimostrarlo formalmente ti consiglio di consultare il libro; intuitivamente questa funzione è ottenuta sovrapponendo funzioni che presentano una successione di punti angolosi via via più fitti: mandando questo processo al limite si ottiene una funzione non derivabile in nessun punto.
definiamo [tex]\forall x \in [-1, 1],\ \varphi (x) =\lvert x \rvert[/tex] ed estendiamo la definizione di [tex]\varphi[/tex] a tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] prolungandola per periodicità: [tex]\varphi (x+2) = \varphi(x)[/tex]. In sostanza il grafico di questa funzione è una fila infinita di triangoli isosceli di base 2 e altezza 1, in particolare [tex]\varphi[/tex] è continua ed ha un punto angoloso per ogni [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex]. Definiamo
[tex]\displaymath f(x)= \sum_{n=0} ^ \infty (\frac{3}{4})^n \varphi (4^n x)[/tex]
Questa serie converge uniformemente per il criterio di Weierstrass (o, se preferisci, converge totalmente): il termine generale è sovrastato da [tex](\frac{3}{4})^n[/tex]; in particolare [tex]f[/tex] è ben definita e continua su tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]. Però [tex]f[/tex] non è derivabile in nessun punto. Se vuoi dimostrarlo formalmente ti consiglio di consultare il libro; intuitivamente questa funzione è ottenuta sovrapponendo funzioni che presentano una successione di punti angolosi via via più fitti: mandando questo processo al limite si ottiene una funzione non derivabile in nessun punto.
"miuemia":Prova ad immaginarti come sia fatta una funione continua e che non sia mai derivabile, in nessun punto.
una un pò più semplice e magari più intuitiva
Poi riparliamo di semplicità e di intuizione.
Puoi trovare informazioni interessanti qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function
c'è anche un grafico (attenzione: ovviamente si tratta di una approssimazione al computer, anche se non viene detto esplicitamente). La funzione descritta è quella a cui si riferisce rubik, ma il concetto è lo stesso per quella a cui mi riferisco io, infatti
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function
c'è anche un grafico (attenzione: ovviamente si tratta di una approssimazione al computer, anche se non viene detto esplicitamente). La funzione descritta è quella a cui si riferisce rubik, ma il concetto è lo stesso per quella a cui mi riferisco io, infatti
"Wikipedia":
the cosine function can be replaced in the infinite series by a piecewise linear "zigzag" function
Un altro esempio classico (che ho imparato dal Riesz & Sz.-Nagy, Leçons d'Analyse Fonctionelle, ma è attribuito a Van der Waerden) si costruisce con la parte frazionaria.
In particolare, se si pone[tex]\varphi(x)=\min \{ \{ x\} ,1-\{ x\}\}[/tex] (ove [tex]\{ x\}[/tex] denota la parte frazionaria di [tex]x[/tex], ossia la differenza [tex]x-[x][/tex] tra [tex]x[/tex] e la sua parte intera) di modo che il grafico di [tex]\varphi[/tex] è fatto di triangolini isoceli di base unitaria ed altezza pari a [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex], la serie:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{10^n}\varphi (10^n x)$[/tex]
converge totalmente in [tex]\mathbb{R}[/tex] verso una funzione continua (poiché ogni addendo della serie è continuo) ma non derivabile in alcun punto. La non derivabilità si dimostra facendo un po' di conti esplicit sui rapporti incrementali, nei quali non voglio addentrarmi; ad ogni modo, questo esempio lo trovi analizzato nelle primissime pagine del testo di Riesz & Sz.-Nagy che ho citato (o nell'edizione inglese Functional Analysis).
Si vede che la funzione di Van der Waerden, a meno di fattori di scala, è quella costruita da dissonance nel suo primo post qui.
In particolare, se si pone[tex]\varphi(x)=\min \{ \{ x\} ,1-\{ x\}\}[/tex] (ove [tex]\{ x\}[/tex] denota la parte frazionaria di [tex]x[/tex], ossia la differenza [tex]x-[x][/tex] tra [tex]x[/tex] e la sua parte intera) di modo che il grafico di [tex]\varphi[/tex] è fatto di triangolini isoceli di base unitaria ed altezza pari a [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex], la serie:
[tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{10^n}\varphi (10^n x)$[/tex]
converge totalmente in [tex]\mathbb{R}[/tex] verso una funzione continua (poiché ogni addendo della serie è continuo) ma non derivabile in alcun punto. La non derivabilità si dimostra facendo un po' di conti esplicit sui rapporti incrementali, nei quali non voglio addentrarmi; ad ogni modo, questo esempio lo trovi analizzato nelle primissime pagine del testo di Riesz & Sz.-Nagy che ho citato (o nell'edizione inglese Functional Analysis).
Si vede che la funzione di Van der Waerden, a meno di fattori di scala, è quella costruita da dissonance nel suo primo post qui.
Ciao, cerco una funzione (reale di variabile reale) continua sulla retta ma non derivabile in alcun punto. La funzione $f(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(4^nt)}{2^n}$ dovrebbe andare. Si tratta di una serie di funzioni totalmente (e quindi uniformemente) convergente. Il limite $f(t)$ è continuo. Come si dimostra la non derivabilità in alcun punto?
Grazie,
L.
Grazie,
L.
Ho trovato questo, in rete:
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf
Vabbé che è una tesi, ma c'è un sacco di robba!
Con dimostrazioni...
Poi c'è anche questo, mooolto più breve:
http://www-formal.stanford.edu/jmc/weierstrass.pdf
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf
Vabbé che è una tesi, ma c'è un sacco di robba!
Con dimostrazioni...
Poi c'è anche questo, mooolto più breve:
http://www-formal.stanford.edu/jmc/weierstrass.pdf
"Fioravante Patrone":
Ho trovato questo, in rete:
http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320 ... 320-SE.pdf
Vabbé che è una tesi, ma c'è un sacco di robba!
Con dimostrazioni...
Poi c'è anche questo, mooolto più breve:
http://www-formal.stanford.edu/jmc/weierstrass.pdf
Grazie mille, Fioravante. Ci darò un'occhiata al più presto!
Ciao,
L.
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