Funzione continua

[fritzz1]

ciao!
nn riesco a capire il procedimento per risolvere questo esercizio.
si determino a e b per i quali le seguenti funzioni sono continue in R...

$\f(x) {(ax^2 + b ),(sin(5x)/(log(1+2x) + e^x - 1)) :}$

con la prima $x<=0$ mentre la seconda $x>0$

[codino75]

a spanne:
un punto di possibile discontinuita' e' proprio x=0, in quanto si passa da una funzione all'atra, quindi in x=0 il valore della prima deve essere uguale al valore della seconda (o almeno al lim, per x->0 della seconda(visto che la seconda non e' definita per x=0 nell'esercizio) ).....

[fritzz1]

"codino75":a spanne:
un punto di possibile discontinuita' e' proprio x=0, in quanto si passa da una funzione all'atra, quindi in x=0 il valore della prima deve essere uguale al valore della seconda (o almeno al lim, per x->0 della seconda(visto che la seconda non e' definita per x=0 nell'esercizio) ).....

grazie! ho capito!

[fritzz1]

"codino75":a spanne:
un punto di possibile discontinuita' e' proprio x=0, in quanto si passa da una funzione all'atra, quindi in x=0 il valore della prima deve essere uguale al valore della seconda (o almeno al lim, per x->0 della seconda(visto che la seconda non e' definita per x=0 nell'esercizio) ).....

scusami nn ti voglio rompere ma domani ho l'esame!!in questo caso

$\f(x){((cos(3ax)-1)/(2xsinx)),(sin4x+a):}

con la prima se $x>0$ e la seconda $x<=0$

io ho sostituio alla seconda zero e quindi viene a= al lim di x tende a zero della prima...il limite di x che tende a zero delle seconda è $-9/4 a^2$...quindi $a = -9/4a^2$......svolgendo $a = 0$ v $a = -4/9$ ma se sostituisco alla prima $-4/9$ con $a$ la funzione nn risulta continua...

[codino75]

"fritzz":[quote="codino75"]a spanne:
un punto di possibile discontinuita' e' proprio x=0, in quanto si passa da una funzione all'atra, quindi in x=0 il valore della prima deve essere uguale al valore della seconda (o almeno al lim, per x->0 della seconda(visto che la seconda non e' definita per x=0 nell'esercizio) ).....

scusami nn ti voglio rompere ma domani ho l'esame!!in questo caso

$\f(x){((cos(3ax)-1)/(2xsinx)),(sin4x+a):}

con la prima se $x>0$ e la seconda $x<=0$

io ho sostituio alla seconda zero e quindi viene a= al lim di x tende a zero della prima...il limite di x che tende a zero delle seconda è $-9/4 a^2$...quindi $a = -9/4a^2$......svolgendo $a = 0$ v $a = -4/9$ ma se sostituisco alla prima $-4/9$ con $a$ la funzione nn risulta continua...[/quote]

non ho vcaèito bene i tuoi conti. cmq:
-la seconda in x=0 vale "a"
-la prima non e' definita per x=0 (sostituendo brutalmente verrebbe 0/0), quindi bisogna fare il limite, ma sul limite non so aiutarti. supponiamo che dopo i conti tale limite venga "k".
allora bisognera' porre a=k

[codino75]

p.s.: ovviamente ci si deve preoccupare inizialmente anche della continuita' delle singole funzioni (prima e seconda) nel rispettivo insieme in cui sono definite.

[fritzz1]

"codino75":p.s.: ovviamente ci si deve preoccupare inizialmente anche della continuita' delle singole funzioni (prima e seconda) nel rispettivo insieme in cui sono definite.

grazie per la pazienza..cmq ho fatto così!!quell' k che dicevi è uguale a $-9/4a^2$ svogendo l'equazione $a = -9/4a^2$ viene $ a = 0$ e $a = -4/9$ ma sostituendo alla prima -4/9 con a la funziona nn risulta continua...

[codino75]

"fritzz": ma sostituendo alla prima -4/9 con a la funziona nn risulta continua...

in base a cosa , dici cio'?

[fritzz1]

"codino75":[quote="fritzz"] ma sostituendo alla prima -4/9 con a la funziona nn risulta continua...

in base a cosa , dici cio'?[/quote]

l'ho tracciata con derive

[codino75]

"fritzz":[quote="codino75"][quote="fritzz"] ma sostituendo alla prima -4/9 con a la funziona nn risulta continua...

in base a cosa , dici cio'?[/quote]

l'ho tracciata con derive[/quote]

giusto per intenderci:
la prima funzione , ponendo a=-4/9, potrebbe risultare ancora non definita in x=0, tuttavia il suo limite (se i tuoi conti sono corretti), deve essere uguale al valore che assume la seconda funzione in x=0

[codino75]

p.p.s:ovviamente, il limite cui ci riferiamo in casi come questi viene fatto solo da un lato, per esempio in qsto caso , riguardo laprima funzione, ci riferiamo al limite da destra.

[fritzz1]

"codino75":p.p.s:ovviamente, il limite cui ci riferiamo in casi come questi viene fatto solo da un lato, per esempio in qsto caso , riguardo laprima funzione, ci riferiamo al limite da destra.

grazie mlle ora provo a fare bene i calcoli..speriamo in bene!!

[gugo82]

"fritzz":scusami nn ti voglio rompere ma domani ho l'esame!!in questo caso

$\f(x)=\{((cos(3ax)-1)/(2xsinx), ", se " x>0),(sin4x+a, ", se " xle 0):}

io ho sostituito alla seconda zero e quindi viene a= al lim di x tende a zero della prima...il limite di x che tende a zero delle seconda è $-9/4 a^2$...quindi $a = -9/4a^2$......svolgendo $a = 0$ v $a = -4/9$ ma se sostituisco alla prima $-4/9$ con $a$ la funzione nn risulta continua...

Vediamo un po'.

Le restrizioni di $f$ agli insiemi $]-oo,0[$ e $]0,+oo[$ sono certamente continue: per garantire la continuità anche nel punto $0$ occorre e basta determinare i valori di $a in RR$ per i quali risulti:

$lim_(xto 0^-) f(x)=lim_(x to 0^+) f(x) quad hArr quad lim_(xto 0^-) sin4x+a=lim_(x to 0^+) (cos(3ax)-1)/(2xsinx)$.

I calcoli mostrano che:

$lim_(xto 0^-) sin4x+a=a$

$lim_(x to 0^+) (cos(3ax)-1)/(2xsinx)=-9/4a^2$.

La continuità di $f$ in $0$ è assicurata non appena risulti:

$a=-9/4a^2 quad hArr quad a*(9/4a+1)=0 quad hArr quad a=0 " oppure " a=-4/9$.

Ponendo $a=0$ trovi:

$f_0(x)=\{(0, ", se " x>0),(sin4x, ", se " xle 0):}$

mentre ponendo $a=-4/9$ trovi:

$f_(-9/4)(x)=\{((cos(4/3x)-1)/(2xsinx), ", se " x>0),(sin4x-4/9, ", se " xle 0):}$

e le due funzioni così determinate sono sicuramente continue in $0$.