Funzione Continua

[Akillez]

Salve a tutti,
Sto facendo lo studio di funzione di $1/x*e^(-1/x)$ , mi si chiede la continuità e derivabilità della funzione.
Ho un dubbio sulla continuità, per caso si fa riferimento alla definizione di continuità? Voi come fareste?

ciao e grazie mille

[Sk_Anonymous]

é continua $AAx in R-(0)$

[Akillez]

"ENEA84":é continua $AAx in R-(0)$

uhmmm, quale meccanismo utilizzi per affermare questo?

[Sk_Anonymous]

"Akillez":
Sto facendo lo studio di funzione di $1/x*e^(-1/x)$ , mi si chiede la continuità e derivabilità della funzione.
Ho un dubbio sulla continuità, per caso si fa riferimento alla definizione di continuità? Voi come fareste?

...semplicemente osservando che i) in quanto funzione reale di una variabile reale, la mappa $f: x \to 1/x*e^{-1/x}$ ha come dominio massimale l'insieme $X = \mathbb{R}\setminus\{0\}$; ii) $X$ è aperto nella topologia metrica euclidea di $\mathbb{R}$; iii) $f$ è continua e derivabile in $X$, poiché prodotto e composizione di funzioni ivi continue e derivabili; iv) $f$ non è prolungabile per continuità nel punto $x = 0$, e quindi neppure $f'$ può esserlo, siccome $0 = \lim_{x \to 0^+} f(x) \ne \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$.

[Sk_Anonymous]

le funzioni elementari sono continue nel loro campo di esistenza

[Akillez]

ok ci sono non ho capito il punto $ii)$ ma per il resto è perfetto, grazie.

[Sk_Anonymous]

Il punto ii) è necessario perché, in senso proprio, la derivabilità si può stabilire solo in riferimento ai punti interni di un insieme. E la topologia vuole che tutti i punti di un aperto siano interni.

[Lucked]

Io volevo chiedervi in proposito...che cosa vuol dire che il logaritmo, esponenziali e radici sono funzioni continue?
e quali altre? come si fa a sapere questo? e cosa comporta?