Funzione continua

[andreat86]

Siccome non ho mai incontrato un esercizio del genere vorrei sapere in che modo posso arrivare a dare una risposta completa.

Determina, motivando la risposta, se la funzione $f:R->R$ data da

$ f(x) := {((sqrt(x)-1)/(x-1)\text{ se } x>1),(e^(x-1)\text{ se } x<=1):} $

è continua in $x$o=1

[killing_buddha]

Chi è \(\lim_{x\to 1^+} f(x)\)? Coincide con $f(1) = 1$?

[andreat86]

Ho delle difficoltà a fare i limiti destri e sinistri,comunque se non sbaglio il limite mi viene $0^(+)/0^(+)$ per la prima funzione

[killing_buddha]

$(x-1)=(\sqrt{x]+1)(\sqrt{x}-1)$...

[andreat86]

non so come interpretare il tuo aiuto

[killing_buddha]

Se, in una frazione, al numeratore c'è "castoro x fagiano" e al denominatore "papera x fagiano", puoi semplificare fagiano e ti resta "castoro su papera".

Più semplificato di così c'è solo la canzoncina delle elementari

[andreat86]

hai ragione,scusami,ma una volta ottenuta la nuova frazione faccio il limite con la x che tende a $1^+$?
come risultato ho $1/2^+$
devo fare il limite che per la seconda funzione?sempre con la x che tende a +1?anche se ha $x>=1$?
se faccio per la seconda funzione il limite con la x che tende a 1,ottengo 1.
Quindi direi che non è continua la funzione $f(x)$ in $x$o=1.
Basta questo svolgimento come motivazione della risposta?

[killing_buddha]

Cosa significa il segno ad apice al 2 (sugg.: niente)?

Una volta semplificato, il limite di \(\frac{1}{\sqrt{x}+1}\) in $1$ esiste, e fa \(1/2\). il mondo non è sempre crudele, per fortuna.

[andreat86]

stavo modificando la risposta,ah ok.

[andreat86]

Quindi per tornare alla domanda iniziale se è continua in Xo=1, dico che non è continua in quanto per la funzione sopra ho x=1 e y=1/2 e per la funzione sotto ad x=1 ho y=1. Giusto?