Funzione continua

[zio_mangrovia]

Data una funzione $f:RR->RR$ continua e definita come:
$\phi(x)=\int_0^xf(tx)dt$

calcolare $\phi'(x)$

Il suggerimento dice : introdurre il cambio di variabile $tx=y$

Non so da che parte iniziare

[Bremen000]

Usando il suggerimento ottieni:


$$\phi(x) = \int_0^x f(tx)dt = \int_0^{x^2}\frac{f(y)}{x} dy = \frac{1}{x} \int_0^{x^2}f(y)dy $$

Per il teorema fondamentale del calcolo e con la regola della derivata del prodotto hai:

$$\phi'(x) = \frac{1}{x} f(y)|_{y=x^2} \frac{d}{dx} (x^2) -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(y)dy = \frac{1}{x} f(x^2) 2x -\frac{1}{x} \frac{1}{x} \int_0^{x^2}f(y)dy = 2f(x^2)-\frac{\phi(x)}{x} $$

[zio_mangrovia]

"Bremen000":Usando il suggerimento ottieni:


$$\phi(x) = \int_0^x f(tx)dt = \int_0^{x^2}\frac{f(y)}{x} dy = \frac{1}{x} \int_0^{x^2}f(y)dy $$

Se $y=tx$, immagino che $dy= xdt$ o sbaglio? non capisco da dove esce $1/x$

[Magma1]

$ y=tx hArr t=y/x rArr dt=dyx$


EDIT correzione svista

[Bremen000]

"Magma":$ y=tx hArr t=y/x rArr dt=1/x$

Esattamente con però una piccola modifica dovuta sicuramente ad una svista: $dt= \frac{dy}{x}$

[zio_mangrovia]

"Bremen000":Usando il suggerimento ottieni:


$$\phi(x) = \int_0^x f(tx)dt = \int_0^{x^2}\frac{f(y)}{x} dy = \frac{1}{x} \int_0^{x^2}f(y)dy $$

Mi sfugge come il secondo estremo di interazioni diventi $x^2$

[zio_mangrovia]

"Bremen000":
Per il teorema fondamentale del calcolo e con la regola della derivata del prodotto hai:

$$\phi'(x) = \frac{1}{x} f(y)|_{y=x^2} \frac{d}{dx} (x^2) -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^2} f(y)dy = \frac{1}{x} f(x^2) 2x -\frac{1}{x} \frac{1}{x} \int_0^{x^2}f(y)dy = 2f(x^2)-\frac{\phi(x)}{x} $$

ho grosse difficoltà ad interpretare questa formulano... aiuto!!!!

[Bremen000]

Perdonami il ritardo nella risposta, ieri il sito non mi andava oltretutto;

La sostituzione è:

$y=tx$
$t= \frac{y}{x}$

Dunque:

$ t=0 \Rightarrow y=0 x=0 \quad , \quad t=x \Rightarrow y= x x=x^2 \quad , \quad dt= \frac{dy}{x} $


Tutto chiaro?

[zio_mangrovia]

chiarissimo, grazie