Funzione con seni e coseni
Determinare max/min di \(\displaystyle f(x,y)=\cos x + \cos y \) nel compatto \(\displaystyle V=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 | x^4+y^4=1 \right\} \).
1) la funzione è pari rispetto ad x ed y
2) non vi sono punti stazionari interni di f che appartengono a V
3) l'equazione del vincolo è \(\displaystyle g(x,y)=x^4+y^4-1 \) ed utilizzando i moltiplicatori di Lagrange ho che
il primo sistema: \(\displaystyle \begin{cases} g_x =0 \\ g_y =0 \\ g=0 \end{cases} \) non ha soluzioni, mentre risolvendo il secondo sistema ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x =\lambda g_x \\ f_y=\lambda g_y \\ g=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sin x=4\lambda x^3 \\ -\sin y =4\lambda y^3 \\ x^4+y^4=1 \end{cases}\)
Discussi i casi x=0 e y=0 (che portano ai punti (0,+-1) e (+-1,0) )alla fine mi ritrovo ad avere: \(\displaystyle \begin{cases} -\frac{\sin x}{x^3}=4\lambda \\ -\frac{\sin y}{y^3}=4\lambda \\ x^4+y^4=1 \end{cases} \) e qui mi blocco non sapendo come continuare
1) la funzione è pari rispetto ad x ed y
2) non vi sono punti stazionari interni di f che appartengono a V
3) l'equazione del vincolo è \(\displaystyle g(x,y)=x^4+y^4-1 \) ed utilizzando i moltiplicatori di Lagrange ho che
il primo sistema: \(\displaystyle \begin{cases} g_x =0 \\ g_y =0 \\ g=0 \end{cases} \) non ha soluzioni, mentre risolvendo il secondo sistema ottengo:
\(\displaystyle \begin{cases} f_x =\lambda g_x \\ f_y=\lambda g_y \\ g=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\sin x=4\lambda x^3 \\ -\sin y =4\lambda y^3 \\ x^4+y^4=1 \end{cases}\)
Discussi i casi x=0 e y=0 (che portano ai punti (0,+-1) e (+-1,0) )alla fine mi ritrovo ad avere: \(\displaystyle \begin{cases} -\frac{\sin x}{x^3}=4\lambda \\ -\frac{\sin y}{y^3}=4\lambda \\ x^4+y^4=1 \end{cases} \) e qui mi blocco non sapendo come continuare
Risposte
"Lebesgue":
Determinare max/min di \(\displaystyle f(x,y)=\cos x + \sin x \)
il testo è corretto? Non è che hai scritto una x al posto di una y?
"gio73":
[quote="Lebesgue"]Determinare max/min di \(\displaystyle f(x,y)=\cos x + \sin x \)
il testo è corretto? Non è che hai scritto una x al posto di una y?[/quote]
Oggi sono particolarmente stupido
Alla fine ho risolto, grazie comunque
Ciao
puoi dire quali punti hai trovato?
puoi dire quali punti hai trovato?
"gio73":
Ciao
puoi dire quali punti hai trovato?
Dal fatto che $ \frac{\sin x}{x^3}=\frac{sin y}{y^3}$ ho dedotto che $x=\pm y$ [perchè la funzione sint/t è pari] e per fare ciò ho dovuto studiare l'iniettività della funzione $\varphi (t)=\frac{\sin t}{t^3}$, notando che ci interessano solamente i $t\in(0,1]$ e che $\varphi(t)$ decresce nell'intervallo interessato. Quindi poi bastava sostituire nell'equazione $g(x,y)=0$ utilizzando che $x=\pm y$ e trovavo i punti: [per comodità pongo $\alpha=\frac{1}{2^{1/4}}$] $(\alpha,\pm\alpha);(-\alpha,\pm\alpha)$ che uniti ai punti precedenti $(0,\pm1);(\pm1,0)$ fanno un totale di 8 punti.
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